Analysis Beispiele

$y = (x^{2} + 1) e^{4 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} + 1$ und $g (x) = e^{4 x}$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x$ .

$(x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(x^{2} + 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x$ .

$(x^{2} + 1) (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} + 1) e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{2} + 1) e^{4 x} (4 \cdot 1) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$(x^{2} + 1) e^{4 x} \cdot 4 + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $(x^{2} + 1) e^{4 x}$ .

$4 \cdot ((x^{2} + 1) e^{4 x}) + e^{4 x} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3.4

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 (x^{2} + 1) e^{4 x} + e^{4 x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$4 (x^{2} + 1) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (x^{2} + 1) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x + 0)$

Schritt 3.7

Addiere $2 x$ und $0$ .

$4 (x^{2} + 1) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{2} + 4 \cdot 1) e^{4 x} + e^{4 x} (2 x)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 \cdot 1 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x)$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$4 x^{2} e^{4 x} + 4 e^{4 x} + e^{4 x} (2 x)$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$4 e^{4 x} x^{2} + 2 e^{4 x} x + 4 e^{4 x}$

Schritt 4.5

Stelle die Faktoren in $4 e^{4 x} x^{2} + 2 e^{4 x} x + 4 e^{4 x}$ um.

$4 x^{2} e^{4 x} + 2 x e^{4 x} + 4 e^{4 x}$