Analysis Beispiele

$y = (\sqrt[5]{x} - 2 \sqrt[4]{x} + 1) (x^{3} - 5 x - 7)$

Schritt 1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x}$ als $x^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [(x^{\frac{1}{5}} - 2 \sqrt[4]{x} + 1) (x^{3} - 5 x - 7)]$

Schritt 1.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[4]{x}$ als $x^{\frac{1}{4}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (x^{3} - 5 x - 7)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1$ und $g (x) = x^{3} - 5 x - 7$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 5 x - 7] + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} - 5 x - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

Schritt 3.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5 + \frac{d}{d x} [- 7]) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

Schritt 3.6

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5 + 0) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

Schritt 3.7

Addiere $3 x^{2} - 5$ und $0$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1]$

Schritt 3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{5}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{5}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 7.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 8

Kombiniere Brüche.

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Schritt 8.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 8.3

Bringe $x^{- \frac{4}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 9

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{\frac{1}{4}}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}]$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{4}}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{4}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1}) + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 11

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 12

Kombiniere $- 1$ und $\frac{4}{4}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 13

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 1 \cdot 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 14

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 14.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{1 - 4}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 14.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{\frac{- 3}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 15

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 (\frac{1}{4} x^{- \frac{3}{4}}) + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 16

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{- \frac{3}{4}}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - 2 \frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 17

Kombiniere $- 2$ und $\frac{x^{- \frac{3}{4}}}{4}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 2 x^{- \frac{3}{4}}}{4} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 18

Bringe $x^{- \frac{3}{4}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 2}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 19

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{2 (- 1)}{4 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 20.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{\frac{3}{4}}$ heraus.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 x^{\frac{3}{4}})} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x^{\frac{3}{4}})} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 20.3

Forme den Ausdruck um.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} + \frac{- 1}{2 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 22

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}} + 0)$

Schritt 23

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 23.1

Addiere $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}}$ und $0$ .

$(x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) (3 x^{2} - 5) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}})$

Schritt 23.2

Stelle die Terme um.

$(3 x^{2} - 5) (x^{\frac{1}{5}} - 2 x^{\frac{1}{4}} + 1) + (x^{3} - 5 x - 7) (\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}} - \frac{1}{2 x^{\frac{3}{4}}})$