Analysis Beispiele

$y = (\sqrt[9]{x} - \frac{9}{x})$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[9]{x}$ als $x^{\frac{1}{9}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}} - \frac{9}{x}]$

Schritt 2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{\frac{1}{9}} - \frac{9}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{9}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} - 1 \cdot \frac{9}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{1}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 1 \cdot 9}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{1 - 9}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Schritt 7.2

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$\frac{1}{9} x^{\frac{- 8}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} + \frac{d}{d x} [- \frac{9}{x}]$

Schritt 9

Da $- 9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{9}{x}$ nach $x$ gleich $- 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} - 9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 10

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} - 9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} - 9 (- x^{- 2})$

Schritt 12

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 9$ .

$\frac{1}{9} x^{- \frac{8}{9}} + 9 x^{- 2}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x^{\frac{8}{9}}} + 9 x^{- 2}$

Schritt 13.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{x^{\frac{8}{9}}} + 9 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 13.3

Vereine die Terme

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Schritt 13.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{9}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{8}{9}}}$ .

$\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}} + 9 \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 13.3.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}} + \frac{9}{x^{2}}$

Schritt 13.4

Stelle die Terme um.

$\frac{9}{x^{2}} + \frac{1}{9 x^{\frac{8}{9}}}$