Analysis Beispiele

$y = (x^{3} + 1) \ln (x^{3} + 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{3} + 1$ und $g (x) = \ln (x^{3} + 1)$ .

$(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x^{3} + 1)] + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x^{3} + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3} + 1$ .

$(x^{3} + 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$(x^{3} + 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3} + 1$ .

$(x^{3} + 1) (\frac{1}{x^{3} + 1} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (3 x^{2} + 0) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 3.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.4.1

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$(x^{3} + 1) \frac{1}{x^{3} + 1} (3 x^{2}) + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 3.4.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{3} + 1}$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3}{x^{3} + 1} x^{2} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 3.4.3

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{3}{x^{3} + 1}$ .

$(x^{3} + 1) \frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 3.4.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 \cdot x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.7

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (3 x^{2} + 0)$

Schritt 3.8

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + \ln (x^{3} + 1) (3 x^{2})$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{x^{3} + 1^{3}} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Schritt 4.2.1.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Schritt 4.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Schritt 4.2.1.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(x^{3} + 1) \frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $x^{3} + 1$ mit $\frac{3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$ .

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2})}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Schritt 4.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$\frac{(x^{3} + 1^{3}) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Schritt 4.2.3.2

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Schritt 4.2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Schritt 4.2.3.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Schritt 4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{x^{2} - x + 1} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Schritt 4.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - x + 1$ .

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Schritt 4.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} - x + 1) \cdot 3 x^{2}}{x^{2} - x + 1} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$

Schritt 4.2.5.2

Dividiere $3 x^{2}$ durch $1$ .

$3 x^{2} + 3 x^{2} \ln (x^{3} + 1)$