Analysis Beispiele

$y = (4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6$ und $g (x) = e^{x^{3}}$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) \frac{d}{d x} [e^{x^{3}}] + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) (e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} \frac{d}{d x} [4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.6

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.9

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Schritt 3.12

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8 + 0)$

Schritt 3.13

Addiere $12 x^{2} - 4 x + 8$ und $0$ .

$(4 x^{3} - 2 x^{2} + 8 x - 6) e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(4 x^{3} e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}}) (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{3} e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2} - 4 x + 8)$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x^{3} e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Schritt 4.4

Vereine die Terme

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 x^{3} e^{x^{3}} x^{2} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Schritt 4.4.2

Multipliziere $x^{3}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$12 (x^{2} x^{3}) e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Schritt 4.4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 x^{2 + 3} e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Schritt 4.4.2.3

Addiere $2$ und $3$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 2 x^{2} e^{x^{3}} (3 x^{2}) + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Schritt 4.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{2} e^{x^{3}} x^{2} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Schritt 4.4.4

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.4.1

Bewege $x^{2}$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 (x^{2} x^{2}) e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Schritt 4.4.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{2 + 2} e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Schritt 4.4.4.3

Addiere $2$ und $2$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 8 x e^{x^{3}} (3 x^{2}) - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Schritt 4.4.5

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x e^{x^{3}} x^{2} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Schritt 4.4.6

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.4.6.1

Bewege $x^{2}$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 (x^{2} x) e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Schritt 4.4.6.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 4.4.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 (x^{2} x^{1}) e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Schritt 4.4.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{2 + 1} e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Schritt 4.4.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 6 e^{x^{3}} (3 x^{2}) + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Schritt 4.4.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 6$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 18 e^{x^{3}} x^{2} + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + e^{x^{3}} \cdot 8$

Schritt 4.4.8

Bringe $8$ auf die linke Seite von $e^{x^{3}}$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 18 e^{x^{3}} x^{2} + e^{x^{3}} (12 x^{2}) + e^{x^{3}} (- 4 x) + 8 \cdot e^{x^{3}}$

Schritt 4.4.9

Bewege $e^{x^{3}}$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 18 x^{2} e^{x^{3}} + 12 x^{2} e^{x^{3}} + e^{x^{3}} (- 4 x) + 8 e^{x^{3}}$

Schritt 4.4.10

Addiere $- 18 x^{2} e^{x^{3}}$ und $12 x^{2} e^{x^{3}}$ .

$12 x^{5} e^{x^{3}} - 6 x^{4} e^{x^{3}} + 24 x^{3} e^{x^{3}} - 6 x^{2} e^{x^{3}} + e^{x^{3}} (- 4 x) + 8 e^{x^{3}}$

Schritt 4.5

Stelle die Terme um.

$12 e^{x^{3}} x^{5} - 6 e^{x^{3}} x^{4} + 24 e^{x^{3}} x^{3} - 6 e^{x^{3}} x^{2} - 4 e^{x^{3}} x + 8 e^{x^{3}}$