Analysis Beispiele

$y = (3 - 3 x^{2}) (5 x^{2} - 60)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 3 - 3 x^{2}$ und $g (x) = 5 x^{2} - 60$ .

$(3 - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 60] + (5 x^{2} - 60) \frac{d}{d x} [3 - 3 x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} - 60$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60]$ .

$(3 - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60]) + (5 x^{2} - 60) \frac{d}{d x} [3 - 3 x^{2}]$

Schritt 2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 - 3 x^{2}) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60]) + (5 x^{2} - 60) \frac{d}{d x} [3 - 3 x^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(3 - 3 x^{2}) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 60]) + (5 x^{2} - 60) \frac{d}{d x} [3 - 3 x^{2}]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$(3 - 3 x^{2}) (10 x + \frac{d}{d x} [- 60]) + (5 x^{2} - 60) \frac{d}{d x} [3 - 3 x^{2}]$

Schritt 2.5

Da $- 60$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 60$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(3 - 3 x^{2}) (10 x + 0) + (5 x^{2} - 60) \frac{d}{d x} [3 - 3 x^{2}]$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $10 x$ und $0$ .

$(3 - 3 x^{2}) (10 x) + (5 x^{2} - 60) \frac{d}{d x} [3 - 3 x^{2}]$

Schritt 2.6.2

Bringe $10$ auf die linke Seite von $3 - 3 x^{2}$ .

$10 \cdot (3 - 3 x^{2}) x + (5 x^{2} - 60) \frac{d}{d x} [3 - 3 x^{2}]$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 3 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$10 (3 - 3 x^{2}) x + (5 x^{2} - 60) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])$

Schritt 2.8

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$10 (3 - 3 x^{2}) x + (5 x^{2} - 60) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}])$

Schritt 2.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$10 (3 - 3 x^{2}) x + (5 x^{2} - 60) \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Schritt 2.10

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$10 (3 - 3 x^{2}) x + (5 x^{2} - 60) (- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$10 (3 - 3 x^{2}) x + (5 x^{2} - 60) (- 3 (2 x))$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$10 (3 - 3 x^{2}) x + (5 x^{2} - 60) (- 6 x)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(10 \cdot 3 + 10 (- 3 x^{2})) x + (5 x^{2} - 60) (- 6 x)$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$10 \cdot 3 x + 10 (- 3 x^{2}) x + (5 x^{2} - 60) (- 6 x)$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$10 \cdot 3 x + 10 (- 3 x^{2}) x + 5 x^{2} (- 6 x) - 60 (- 6 x)$

Schritt 3.4

Vereine die Terme

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $10$ mit $3$ .

$30 x + 10 (- 3 x^{2}) x + 5 x^{2} (- 6 x) - 60 (- 6 x)$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $10$ .

$30 x - 30 x^{2} x + 5 x^{2} (- 6 x) - 60 (- 6 x)$

Schritt 3.4.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$30 x - 30 (x^{1} x^{2}) + 5 x^{2} (- 6 x) - 60 (- 6 x)$

Schritt 3.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$30 x - 30 x^{1 + 2} + 5 x^{2} (- 6 x) - 60 (- 6 x)$

Schritt 3.4.5

Addiere $1$ und $2$ .

$30 x - 30 x^{3} + 5 x^{2} (- 6 x) - 60 (- 6 x)$

Schritt 3.4.6

Mutltipliziere $- 6$ mit $5$ .

$30 x - 30 x^{3} - 30 x^{2} x - 60 (- 6 x)$

Schritt 3.4.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$30 x - 30 x^{3} - 30 (x^{1} x^{2}) - 60 (- 6 x)$

Schritt 3.4.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$30 x - 30 x^{3} - 30 x^{1 + 2} - 60 (- 6 x)$

Schritt 3.4.9

Addiere $1$ und $2$ .

$30 x - 30 x^{3} - 30 x^{3} - 60 (- 6 x)$

Schritt 3.4.10

Mutltipliziere $- 6$ mit $- 60$ .

$30 x - 30 x^{3} - 30 x^{3} + 360 x$

Schritt 3.4.11

Subtrahiere $30 x^{3}$ von $- 30 x^{3}$ .

$30 x - 60 x^{3} + 360 x$

Schritt 3.4.12

Addiere $30 x$ und $360 x$ .

$- 60 x^{3} + 390 x$