Analysis Beispiele

$y = {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{4}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = (x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} \frac{d}{d x} [(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 2 x^{3}$ und $g (x) = 6 x - 3$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) \frac{d}{d x} [6 x - 3] + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Schritt 3

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Schritt 3.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Schritt 3.5

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) (6 + 0) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Addiere $6$ und $0$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} ((x - 2 x^{3}) \cdot 6 + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Schritt 3.6.2

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x - 2 x^{3}$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 \cdot (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) \frac{d}{d x} [x - 2 x^{3}])$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 2 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]))$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]))$

Schritt 3.9

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{3}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]))$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 2 (3 x^{2})))$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$4 {((x - 2 x^{3}) (6 x - 3))}^{3} (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $(x - 2 x^{3}) (6 x - 3)$ an.

$4 ({(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3}) (6 (x - 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 ({(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3}) (6 x + 6 (- 2 x^{3}) + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $6$ .

$4 {(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3} (6 x - 12 x^{3} + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren von $4 {(x - 2 x^{3})}^{3} {(6 x - 3)}^{3} (6 x - 12 x^{3} + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$ um.

$4 {(6 x - 3)}^{3} {(x - 2 x^{3})}^{3} (6 x - 12 x^{3} + (6 x - 3) (1 - 6 x^{2}))$