Analysis Beispiele

$y = (x - 1) \ln (x - 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x - 1$ und $g (x) = \ln (x - 1)$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [\ln (x - 1)] + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = x - 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x - 1$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$(x - 1) (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$(x - 1) (\frac{1}{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} (1 + 0) + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} \cdot 1 + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $x - 1$ mit $1$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) (1 + 0)$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1) \cdot 1$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $\ln (x - 1)$ mit $1$ .

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1)$

Schritt 3.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 3.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(x - 1) \frac{1}{x - 1} + \ln (x - 1)$

Schritt 3.8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$1 + \ln (x - 1)$