Analysis Beispiele

$y = (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{4}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 4 x - 1$ und $g (x) = {(3 x + 1)}^{4}$ .

$(4 x - 1) \frac{d}{d x} [{(3 x + 1)}^{4}] + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{4}$ und $g (x) = 3 x + 1$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $3 x + 1$ .

$(4 x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$(4 x - 1) (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 1$ .

$(4 x - 1) (4 {(3 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $4 x - 1$ .

$4 \cdot (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x + 1] + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 3.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 + \frac{d}{d x} [1]) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 3.6

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} (3 + 0) + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.7.1

Addiere $3$ und $0$ .

$4 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} \cdot 3 + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [4 x - 1]$

Schritt 3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.9

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.11

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 3.12

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} (4 + 0)$

Schritt 3.13

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.13.1

Addiere $4$ und $0$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + {(3 x + 1)}^{4} \cdot 4$

Schritt 3.13.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von ${(3 x + 1)}^{4}$ .

$12 (4 x - 1) {(3 x + 1)}^{3} + 4 \cdot {(3 x + 1)}^{4}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(12 (4 x) + 12 \cdot - 1) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $4$ mit $12$ .

$(48 x + 12 \cdot - 1) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 1$ .

$(48 x - 12) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

Schritt 4.4

Faktorisiere ${(3 x + 1)}^{3}$ aus $(48 x - 12) {(3 x + 1)}^{3} + 4 {(3 x + 1)}^{4}$ heraus.

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere ${(3 x + 1)}^{3}$ aus $(48 x - 12) {(3 x + 1)}^{3}$ heraus.

${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12) + 4 {(3 x + 1)}^{4}$

Schritt 4.4.2

Faktorisiere ${(3 x + 1)}^{3}$ aus $4 {(3 x + 1)}^{4}$ heraus.

${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12) + {(3 x + 1)}^{3} (4 (3 x + 1))$

Schritt 4.4.3

Faktorisiere ${(3 x + 1)}^{3}$ aus ${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12) + {(3 x + 1)}^{3} (4 (3 x + 1))$ heraus.

${(3 x + 1)}^{3} (48 x - 12 + 4 (3 x + 1))$