Analysis Beispiele

$\sin (4 x) \cos^{2} (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (4 x)$ und $g (x) = \cos^{2} (x)$ .

$\sin (4 x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \cos (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$\sin (4 x) (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\sin (4 x) (2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\cos (x)$ .

$\sin (4 x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin (4 x)$ .

$2 \cdot \sin (4 x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$2 \sin (4 x) \cos (x) (- \sin (x)) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 4 x$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $4 x$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 6.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 x$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Schritt 7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + \cos^{2} (x) \cos (4 x) \cdot 4$

Schritt 7.3.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\cos^{2} (x) \cos (4 x)$ .

$- 2 \sin (4 x) \cos (x) \sin (x) + 4 \cdot (\cos^{2} (x) \cos (4 x))$

Schritt 7.3.3

Stelle die Terme um.

$- 2 \cos (x) \sin (x) \sin (4 x) + 4 \cos^{2} (x) \cos (4 x)$