Analysis Beispiele

$\tan (x) (4 \sin (x) + 5 \cos (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = 4 \sin (x) + 5 \cos (x)$ .

$\tan (x) \frac{d}{d x} [4 \sin (x) + 5 \cos (x)] + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 \sin (x) + 5 \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]$ .

$\tan (x) (\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 2.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 \sin (x)$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\tan (x) (4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [5 \cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 \cos (x)$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) + 5 \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 5

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) + 5 (- \sin (x))) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 6

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) - 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Schritt 7

Die Ableitung von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\sec^{2} (x)$ .

$\tan (x) (4 \cos (x) - 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \sec^{2} (x)$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) (4 \cos (x)) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + (4 \sin (x) + 5 \cos (x)) \sec^{2} (x)$

Schritt 8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) (4 \cos (x)) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + 4 \sin (x) \sec^{2} (x) + 5 \cos (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 8.3

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\tan (x)$ .

$4 \tan (x) \cos (x) + \tan (x) (- 5 \sin (x)) + 4 \sin (x) \sec^{2} (x) + 5 \cos (x) \sec^{2} (x)$

Schritt 8.4

Stelle die Terme um.

$4 \cos (x) \tan (x) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 8.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.5.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.5.1.1

Füge Klammern hinzu.

$4 (\cos (x) \tan (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 8.5.1.2

Stelle $\cos (x)$ und $\tan (x)$ um.

$4 (\tan (x) \cos (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 8.5.1.3

Schreibe $4 \cos (x) \tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$4 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 8.5.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$4 \sin (x) - 5 \sin (x) \tan (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 8.5.2

Schreibe $\tan (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$4 \sin (x) - 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 8.5.3

Multipliziere $- 5 \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Schritt 8.5.3.1

Kombiniere $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ und $- 5$ .

$4 \sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)} \sin (x) + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 8.5.3.2

Kombiniere $\frac{\sin (x) \cdot - 5}{\cos (x)}$ und $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 5 \sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 8.5.3.3

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin (x))}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 8.5.3.4

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{- 5 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 8.5.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 \sin (x) + \frac{- 5 {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 8.5.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{- 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 8.5.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 8.5.5

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 8.5.6

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 8.5.7

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + 4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 8.5.8

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 8.5.9

Kombiniere $\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ und $\sin (x)$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \sec^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 8.5.10

Schreibe $\sec (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \cos (x)$

Schritt 8.5.11

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\cos (x)}$ an.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Schritt 8.5.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 5 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Schritt 8.5.13

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos^{2} (x)} \cos (x)$

Schritt 8.5.14

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

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Schritt 8.5.14.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Schritt 8.5.14.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x)$

Schritt 8.5.14.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \sin (x) - \frac{5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{5}{\cos (x)}$

Schritt 8.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 \sin (x) + \frac{- 5 \sin^{2} (x) + 5}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.7

Stelle $- 5 \sin^{2} (x)$ und $5$ um.

$4 \sin (x) + \frac{5 - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.8

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$4 \sin (x) + \frac{5 (1) - 5 \sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.9

Faktorisiere $5$ aus $- 5 \sin^{2} (x)$ heraus.

$4 \sin (x) + \frac{5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.10

Faktorisiere $5$ aus $5 (1) + 5 (- \sin^{2} (x))$ heraus.

$4 \sin (x) + \frac{5 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.11

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$4 \sin (x) + \frac{5 \cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.12

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\cos^{2} (x)$ und $\cos (x)$ .

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Schritt 8.12.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $5 \cos^{2} (x)$ heraus.

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x)} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.12.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.12.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.12.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 \sin (x) + \frac{\cos (x) (5 \cos (x))}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.12.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 \sin (x) + \frac{5 \cos (x)}{1} + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.12.2.4

Dividiere $5 \cos (x)$ durch $1$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Schritt 8.13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.13.1

Faktorisiere $\cos (x)$ aus $\cos^{2} (x)$ heraus.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)}$

Schritt 8.13.2

Separiere Brüche.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 8.13.3

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{\cos (x)} \tan (x)$

Schritt 8.13.4

Separiere Brüche.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x)$

Schritt 8.13.5

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + \frac{4}{1} \sec (x) \tan (x)$

Schritt 8.13.6

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 \sin (x) + 5 \cos (x) + 4 \sec (x) \tan (x)$