Analysis Beispiele

$x {(9 - x)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(9 - x)}^{2}$ als $(9 - x) (9 - x)$ um.

$\frac{d}{d x} [x ((9 - x) (9 - x))]$

Schritt 2

Multipliziere $(9 - x) (9 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (9 (9 - x) - x (9 - x))]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (9 \cdot 9 + 9 (- x) - x (9 - x))]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [x (9 \cdot 9 + 9 (- x) - x \cdot 9 - x (- x))]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 + 9 (- x) - x \cdot 9 - x (- x))]$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - x \cdot 9 - x (- x))]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - x (- x))]$

Schritt 3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x + 1 x^{2})]$

Schritt 3.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 9 x - 9 x + x^{2})]$

Schritt 3.2

Subtrahiere $9 x$ von $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [x (81 - 18 x + x^{2})]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 81 - 18 x + x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [81 - 18 x + x^{2}] + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $81 - 18 x + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [81] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.2

Da $81$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $81$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

$x (\frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.4

Da $- 18$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 18 x$ nach $x$ gleich $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (- 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $- 18$ mit $1$ .

$x (- 18 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (- 18 + 2 x) + (81 - 18 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (- 18 + 2 x) + (81 - 18 x + x^{2}) \cdot 1$

Schritt 5.9

Mutltipliziere $81 - 18 x + x^{2}$ mit $1$ .

$x (- 18 + 2 x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot - 18 + x (2 x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Schritt 6.2

Vereine die Terme

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Schritt 6.2.1

Bringe $- 18$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 18 \cdot x + x (2 x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Schritt 6.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 18 x + 2 (x^{1} x) + 81 - 18 x + x^{2}$

Schritt 6.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 18 x + 2 (x^{1} x^{1}) + 81 - 18 x + x^{2}$

Schritt 6.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 18 x + 2 x^{1 + 1} + 81 - 18 x + x^{2}$

Schritt 6.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- 18 x + 2 x^{2} + 81 - 18 x + x^{2}$

Schritt 6.2.6

Subtrahiere $18 x$ von $- 18 x$ .

$- 36 x + 2 x^{2} + 81 + x^{2}$

Schritt 6.2.7

Addiere $2 x^{2}$ und $x^{2}$ .

$- 36 x + 3 x^{2} + 81$

Schritt 6.3

Stelle die Terme um.

$3 x^{2} - 36 x + 81$