Analysis Beispiele

$\ln (2 x^{0.5})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x^{0.5}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x^{0.5}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{0.5}$ .

$\frac{1}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [2 x^{0.5}]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{0.5}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$ .

$\frac{1}{2 x^{0.5}} (2 \frac{d}{d x} [x^{0.5}])$

Schritt 2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 x^{0.5}}$ .

$\frac{2}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

Schritt 2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2 x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

Schritt 2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{0.5}} \frac{d}{d x} [x^{0.5}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 0.5$ .

$\frac{1}{x^{0.5}} (0.5 x^{- 0.5})$

Schritt 2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.1

Kombiniere $0.5$ und $\frac{1}{x^{0.5}}$ .

$\frac{0.5}{x^{0.5}} x^{- 0.5}$

Schritt 2.4.2

Kombiniere $\frac{0.5}{x^{0.5}}$ und $x^{- 0.5}$ .

$\frac{0.5 x^{- 0.5}}{x^{0.5}}$

Schritt 2.4.3

Bringe $x^{- 0.5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0.5}{x^{0.5} x^{0.5}}$

Schritt 3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1

Multipliziere $x^{0.5}$ mit $x^{0.5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{0.5}{x^{0.5 + 0.5}}$

Schritt 3.1.2

Addiere $0.5$ und $0.5$ .

$\frac{0.5}{x^{1}}$

Schritt 3.2

Vereinfache $x^{1}$ .

$\frac{0.5}{x}$