Analysis Beispiele

$\ln (6 x - \cos (x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 6 x - \cos (x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [6 x - \cos (x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [6 x - \cos (x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x - \cos (x)$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} \frac{d}{d x} [6 x - \cos (x)]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x - \cos (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Schritt 2.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Schritt 2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \cos (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 - \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 - - \sin (x))$

Schritt 4

Multipliziere.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 + 1 \sin (x))$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 + \sin (x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{6 x - \cos (x)} (6 + \sin (x))$ um.

$(6 + \sin (x)) \frac{1}{6 x - \cos (x)}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 \frac{1}{6 x - \cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{6 x - \cos (x)}$

Schritt 5.3

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{6 x - \cos (x)}$ .

$\frac{6}{6 x - \cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{6 x - \cos (x)}$

Schritt 5.4

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{6 x - \cos (x)}$ .

$\frac{6}{6 x - \cos (x)} + \frac{\sin (x)}{6 x - \cos (x)}$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 + \sin (x)}{6 x - \cos (x)}$