Analysis Beispiele

$\ln (\csc (5 x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \csc (5 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\csc (5 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\csc (5 x)$ .

$\frac{1}{\csc (5 x)} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Schritt 2

Schreibe $\csc (5 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\frac{1}{\sin (5 x)}} \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (5 x)}$ zu dividieren.

$1 \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Schritt 4

Mutltipliziere $\sin (5 x)$ mit $1$ .

$\sin (5 x) \frac{d}{d x} [\csc (5 x)]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $5 x$ .

$\sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 5.2

Die Ableitung von $\csc (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$\sin (5 x) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $5 x$ .

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sin (5 x) (- \csc (5 x) \cot (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x) \cdot 1)$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Stelle die Faktoren von $\sin (5 x) (- 5 \csc (5 x) \cot (5 x))$ um.

$- 5 \cot (5 x) \csc (5 x) \sin (5 x)$

Schritt 7.2

Schreibe $\cot (5 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 5 \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Schritt 7.3

Kombiniere $- 5$ und $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ .

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Schritt 7.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \csc (5 x) \sin (5 x)$

Schritt 7.5

Schreibe $\csc (5 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)} \sin (5 x)$

Schritt 7.6

Multipliziere $- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)} \cdot \frac{1}{\sin (5 x)}$ .

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (5 x)}$ mit $\frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Schritt 7.6.2

Potenziere $\sin (5 x)$ mit $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Schritt 7.6.3

Potenziere $\sin (5 x)$ mit $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{1} (5 x) \sin^{1} (5 x)} \sin (5 x)$

Schritt 7.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{{\sin (5 x)}^{1 + 1}} \sin (5 x)$

Schritt 7.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

Schritt 7.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (5 x)$ .

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Schritt 7.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)}$ in den Zähler.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin^{2} (5 x)} \sin (5 x)$

Schritt 7.7.2

Faktorisiere $\sin (5 x)$ aus $\sin^{2} (5 x)$ heraus.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Schritt 7.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x) \sin (5 x)} \sin (5 x)$

Schritt 7.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Schritt 7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 \cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Schritt 7.9

Separiere Brüche.

$- (\frac{5}{1} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)})$

Schritt 7.10

Wandle von $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ nach $\cot (5 x)$ um.

$- (\frac{5}{1} \cot (5 x))$

Schritt 7.11

Dividiere $5$ durch $1$ .

$- (5 \cot (5 x))$

Schritt 7.12

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 \cot (5 x)$