Analysis Beispiele

$\ln (\sec (3 x))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{\sec (3 x)} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 2

Schreibe $\sec (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (3 x)}$ zu dividieren.

$1 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 4

Mutltipliziere $\cos (3 x)$ mit $1$ .

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 5.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (3 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\cos (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Schritt 6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Schritt 6.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \cdot (\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x))$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1.1

Füge Klammern hinzu.

$3 (\cos (3 x) \sec (3 x)) \tan (3 x)$

Schritt 7.1.2

Stelle $\cos (3 x)$ und $\sec (3 x)$ um.

$3 (\sec (3 x) \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Schritt 7.1.3

Schreibe $3 \cos (3 x) \sec (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$3 (\frac{1}{\cos (3 x)} \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Schritt 7.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$3 \cdot 1 \tan (3 x)$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 \tan (3 x)$

Schritt 7.3

Schreibe $\tan (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Schritt 7.4

Kombiniere $3$ und $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Schritt 7.5

Separiere Brüche.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Schritt 7.6

Wandle von $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ nach $\tan (3 x)$ um.

$\frac{3}{1} \tan (3 x)$

Schritt 7.7

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 \tan (3 x)$