Analysis Beispiele

$\ln (\ln (\ln (\ln (x))))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \ln (\ln (\ln (x)))$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\ln (\ln (\ln (x)))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\ln (\ln (\ln (x)))]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (\ln (x)))]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\ln (\ln (\ln (x)))$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (\ln (x)))} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (\ln (x)))]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \ln (\ln (x))$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\ln (\ln (x))$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (\ln (x)))} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (\ln (x)))} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\ln (\ln (x))$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (\ln (x)))} (\frac{1}{\ln (\ln (x))} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))])$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (\ln (x))}$ mit $\frac{1}{\ln (\ln (\ln (x)))}$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x)))} \frac{d}{d x} [\ln (\ln (x))]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \ln (x)$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x)))} (\frac{d}{d u_{3}} [\ln (u_{3})] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 4.2

Die Ableitung von $\ln (u_{3})$ nach $u_{3}$ ist $\frac{1}{u_{3}}$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x)))} (\frac{1}{u_{3}} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\ln (x)$ .

$\frac{1}{\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x)))} (\frac{1}{\ln (x)} \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (x)}$ mit $\frac{1}{\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x)))}$ .

$\frac{1}{\ln (x) (\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x))))} \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 6

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\ln (x) (\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x))))} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 7

Kombiniere Brüche.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\ln (x) (\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x))))}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\ln (x) (\ln (\ln (x)) \ln (\ln (\ln (x)))) x}$

Schritt 7.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{x \ln (\ln (\ln (x))) \ln (\ln (x)) \ln (x)}$