Analysis Beispiele

$\ln (\sin (x)) - \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\ln (\sin (x)) - \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Schritt 2.3

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} \cdot \sin^{2} (x)$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = \sin (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ gleich $n {u_{2}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Schritt 3.3

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) - \frac{1}{2} (2 \sin (x) \cos (x))$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\csc (x) \cos (x) - 2 (\frac{1}{2}) (\sin (x) \cos (x))$

Schritt 3.5

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- 2}{2} (\sin (x) \cos (x))$

Schritt 3.6

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{- 2}{2}$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 2}{2} \cos (x)$

Schritt 3.7

Kombiniere $\frac{\sin (x) \cdot - 2}{2}$ und $\cos (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 2 \cos (x)}{2}$

Schritt 3.8

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $\sin (x)$ .

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- 2 \cdot \sin (x) \cos (x)}{2}$

Schritt 3.9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sin (x) \cos (x)$ heraus.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2}$

Schritt 3.9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2 (1)}$

Schritt 3.9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{2 (- \sin (x) \cos (x))}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\csc (x) \cos (x) + \frac{- \sin (x) \cos (x)}{1}$

Schritt 3.9.2.4

Dividiere $- \sin (x) \cos (x)$ durch $1$ .

$\csc (x) \cos (x) - \sin (x) \cos (x)$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$\cos (x) \csc (x) - \cos (x) \sin (x)$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x) \sin (x)$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\cos (x)$ und $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x) \sin (x)$

Schritt 4.3

Wandle von $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ nach $\cot (x)$ um.

$\cot (x) - \cos (x) \sin (x)$