Analysis Beispiele

$\ln (\sin (x^{x}))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sin (x^{x})$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sin (x^{x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sin (x^{x})$ .

$\frac{1}{\sin (x^{x})} \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

Schritt 2

Wandle von $\frac{1}{\sin (x^{x})}$ nach $\csc (x^{x})$ um.

$\csc (x^{x}) \frac{d}{d x} [\sin (x^{x})]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = x^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $x^{x}$ .

$\csc (x^{x}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$\csc (x^{x}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $x^{x}$ .

$\csc (x^{x}) (\cos (x^{x}) \frac{d}{d x} [x^{x}])$

Schritt 4

Wende die Logarithmengesetze an, um die Ableitung zu vereinfachen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Schreibe $x^{x}$ als $e^{\ln (x^{x})}$ um.

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

Schritt 4.2

Zerlege $\ln (x^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x \ln (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $x \ln (x)$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ gleich $a^{u_{3}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $x \ln (x)$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 7

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{x}$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 8.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1))$

Schritt 8.4

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x)))$

Schritt 9

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \cdot 1 + e^{x \ln (x)} \ln (x))$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \cdot 1) + \csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \ln (x))$

Schritt 9.3

Mutltipliziere $e^{x \ln (x)}$ mit $1$ .

$\csc (x^{x}) \cos (x^{x}) e^{x \ln (x)} + \csc (x^{x}) \cos (x^{x}) (e^{x \ln (x)} \ln (x))$

Schritt 9.4

Stelle die Terme um.

$e^{x \ln (x)} \cos (x^{x}) \csc (x^{x}) + e^{x \ln (x)} \cos (x^{x}) \csc (x^{x}) \ln (x)$