Analysis Beispiele

$r (x) = 1000 \sqrt{x^{2} - 0.3 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} - 0.3 x}$ als ${(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [1000 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Da $1000$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1000 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $1000 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$1000 \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x^{2} - 0.3 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 0.3 x$ .

$1000 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$1000 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 0.3 x$ .

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$1000 (\frac{1}{2} {(x^{2} - 0.3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(x^{2} - 0.3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$1000 (\frac{{(x^{2} - 0.3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Schritt 9

Bringe ${(x^{2} - 0.3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1000 (\frac{1}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x])$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ und $1000$ .

$\frac{1000}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

Schritt 11

Faktorisiere $2$ aus $1000$ heraus.

$\frac{2 \cdot 500}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

Schritt 12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 500}{2 ({(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 500}{2 {(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

Schritt 12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 0.3 x]$

Schritt 13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 0.3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x]$ .

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 0.3 x])$

Schritt 14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 0.3 x])$

Schritt 15

Da $- 0.3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 0.3 x$ nach $x$ gleich $- 0.3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 0.3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 0.3 \cdot 1)$

Schritt 17

Mutltipliziere $- 0.3$ mit $1$ .

$\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 0.3)$

Schritt 18

Vereinfache.

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Schritt 18.1

Stelle die Faktoren von $\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 0.3)$ um.

$(2 x - 0.3) \frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.2

Mutltipliziere $2 x - 0.3$ mit $\frac{500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 x - 0.3) \cdot 500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 18.3.1

Faktorisiere $0.1$ aus $2 x - 0.3$ heraus.

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Schritt 18.3.1.1

Faktorisiere $0.1$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{(0.1 (20 x) - 0.3) \cdot 500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.3.1.2

Faktorisiere $0.1$ aus $- 0.3$ heraus.

$\frac{(0.1 (20 x) + 0.1 (- 3)) \cdot 500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.3.1.3

Faktorisiere $0.1$ aus $0.1 (20 x) + 0.1 (- 3)$ heraus.

$\frac{0.1 (20 x - 3) \cdot 500}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 18.3.2

Mutltipliziere $500$ mit $0.1$ .

$\frac{50 (20 x - 3)}{{(x^{2} - 0.3 x)}^{\frac{1}{2}}}$