Analysis Beispiele

$\log (\log (100000^{200 x}))$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log (x)$ und $g (x) = \log (100000^{200 x})$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\log (100000^{200 x})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\log (u_{1})] \frac{d}{d x} [\log (100000^{200 x})]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\log (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{u_{1} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\log (100000^{200 x})]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\log (100000^{200 x})$ .

$\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\log (100000^{200 x})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \log (x)$ und $g (x) = 100000^{200 x}$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $100000^{200 x}$ .

$\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [100000^{200 x}])$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\log (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ .

$\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)} (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $100000^{200 x}$ .

$\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)} (\frac{1}{100000^{200 x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}])$

Schritt 3

Mutltipliziere $\frac{1}{100000^{200 x} \ln (10)}$ mit $\frac{1}{\log (100000^{200 x}) \ln (10)}$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln (10) (\log (100000^{200 x}) \ln (10))} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

Schritt 4

Potenziere $\ln (10)$ mit $1$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} (\ln^{1} (10) \ln (10)) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

Schritt 5

Potenziere $\ln (10)$ mit $1$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} (\ln^{1} (10) \ln^{1} (10)) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{100000^{200 x} {\ln (10)}^{1 + 1} \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

Schritt 7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [100000^{200 x}]$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = 100000^{x}$ und $g (x) = 200 x$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{3}$ durch $200 x$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (\frac{d}{d u_{3}} [100000^{u_{3}}] \frac{d}{d x} [200 x])$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ gleich $a^{u_{3}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $100000$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (100000^{u_{3}} \ln (100000) \frac{d}{d x} [200 x])$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u_{3}$ durch $200 x$ .

$\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (100000^{200 x} \ln (100000) \frac{d}{d x} [200 x])$

Schritt 9

Differenziere.

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Schritt 9.1

Kombiniere $100000^{200 x}$ und $\frac{1}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$ .

$\frac{100000^{200 x}}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (\ln (100000) \frac{d}{d x} [200 x])$

Schritt 9.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 9.2.1

Kombiniere $\ln (100000)$ und $\frac{100000^{200 x}}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$ .

$\frac{\ln (100000) \cdot 100000^{200 x}}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [200 x]$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $100000^{200 x}$ .

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Schritt 9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\ln (100000) \cdot 100000^{200 x}}{100000^{200 x} \ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [200 x]$

Schritt 9.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [200 x]$

Schritt 9.3

Da $200$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $200 x$ nach $x$ gleich $200 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} (200 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 9.4

Kombiniere $200$ und $\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$ .

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 9.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})} \cdot 1$

Schritt 9.6

Mutltipliziere $\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$ mit $1$ .

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) \log (100000^{200 x})}$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Zerlege $\log (100000^{200 x})$ durch Herausziehen von $200 x$ aus dem Logarithmus.

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) (200 x \log (100000))}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $200$ .

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{200 \ln (100000)}{\ln^{2} (10) (200 x \log (100000))}$

Schritt 10.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) (x \log (100000))}$

Schritt 10.3

Die logarithmische Basis $10$ von $100000$ ist $5$ .

$\frac{\ln (100000)}{\ln^{2} (10) x \cdot 5}$

Schritt 10.4

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\ln^{2} (10) x$ .

$\frac{\ln (100000)}{5 \cdot (\ln^{2} (10) x)}$

Schritt 10.5

Stelle die Faktoren in $\frac{\ln (100000)}{5 \ln^{2} (10) x}$ um.

$\frac{\ln (100000)}{5 x \ln^{2} (10)}$