Analysis Beispiele

$\sec (\frac{1}{2} x) \tan (\frac{1}{2} x)$

Schritt 1

Kombiniere Brüche.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2}) \tan (\frac{1}{2} x)]$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2}) \tan (\frac{x}{2})]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sec (\frac{x}{2})$ und $g (x) = \tan (\frac{x}{2})$ .

$\sec (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2})] + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \tan (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\sec (\frac{x}{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Schritt 3.2

Die Ableitung von $\tan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\sec (\frac{x}{2}) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\sec (\frac{x}{2}) (\sec^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Schritt 4

Potenziere $\sec (\frac{x}{2})$ mit $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) \sec^{1} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Schritt 5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\sec (\frac{x}{2})}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Addiere $2$ und $1$ .

$\sec^{3} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}] + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Schritt 6.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{3} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]) + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sec^{3} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x] + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Schritt 6.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1 + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (\frac{x}{2})]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan (\frac{x}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 7.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan (\frac{x}{2}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 7.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan (\frac{x}{2}) (\sec (\frac{x}{2}) \tan (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 8

Potenziere $\tan (\frac{x}{2})$ mit $1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan^{1} (\frac{x}{2}) \tan (\frac{x}{2}) (\sec (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 9

Potenziere $\tan (\frac{x}{2})$ mit $1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan^{1} (\frac{x}{2}) \tan^{1} (\frac{x}{2}) (\sec (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + {\tan (\frac{x}{2})}^{1 + 1} (\sec (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 11

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan^{2} (\frac{x}{2}) (\sec (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Schritt 12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \tan^{2} (\frac{x}{2}) \sec (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 13

Kombiniere Brüche.

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Schritt 13.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\tan^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{\tan^{2} (\frac{x}{2})}{2} \sec (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 13.2

Kombiniere $\frac{\tan^{2} (\frac{x}{2})}{2}$ und $\sec (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{\tan^{2} (\frac{x}{2}) \sec (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 14

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{\tan^{2} (\frac{x}{2}) \sec (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

Schritt 15

Mutltipliziere $\frac{\tan^{2} (\frac{x}{2}) \sec (\frac{x}{2})}{2}$ mit $1$ .

$\frac{\sec^{3} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{\tan^{2} (\frac{x}{2}) \sec (\frac{x}{2})}{2}$