Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x}{\sqrt{x}}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 4 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 4 x$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x - 4 x}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 4$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{x (x - 4)}{x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 3

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{d x} [x (x - 4) x^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 4

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x (x - 4)]$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2}} x^{1} (x - 4)]$

Schritt 4.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + 1} (x - 4)]$

Schritt 4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} (x - 4)]$

Schritt 4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1 + 2}{2}} (x - 4)]$

Schritt 4.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} (x - 4)]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = x - 4$ .

$x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 4] + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [- 4]) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 6.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 6.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 6.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 12

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 13

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + (x - 4) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14

Vereinfache.

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Schritt 14.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{\frac{1}{2}} + x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2

Vereine die Terme

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Schritt 14.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.2

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.3

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 14.2.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 14.2.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.3.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - 4 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.5

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 14.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Schritt 14.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{2 \cdot - 2}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.8

Um $x^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.9

Kombiniere $x^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14.2.12

Addiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ und $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$