Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2^{x}}{x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 2^{x}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [2^{x}] - 2^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$\frac{x (2^{x} \ln (2)) - 2^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x (2^{x} \ln (2)) - 2^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x (2^{x} \ln (2)) - 1 \cdot 2^{x}}{x^{2}}$

Schritt 3.2.2

Schreibe $- 1 \cdot 2^{x}$ als $- 2^{x}$ um.

$\frac{x (2^{x} \ln (2)) - 2^{x}}{x^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\ln (2) x \cdot 2^{x} - 2^{x}}{x^{2}}$

Schritt 4.1.2

Stelle die Faktoren in $\ln (2) x \cdot 2^{x} - 2^{x}$ um.

$\frac{x \cdot 2^{x} \ln (2) - 2^{x}}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Stelle die Terme um.

$\frac{2^{x} x \ln (2) - 2^{x}}{x^{2}}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $2^{x}$ aus $2^{x} x \ln (2) - 2^{x}$ heraus.

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $2^{x}$ aus $2^{x} x \ln (2)$ heraus.

$\frac{2^{x} (x \ln (2)) - 2^{x}}{x^{2}}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $2^{x}$ aus $- 2^{x}$ heraus.

$\frac{2^{x} (x \ln (2)) + 2^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $2^{x}$ aus $2^{x} (x \ln (2)) + 2^{x} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{2^{x} (x \ln (2) - 1)}{x^{2}}$