Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1 - 3 x}{1 + 3 x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1 - 3 x$ und $g (x) = 1 + 3 x$ .

$\frac{(1 + 3 x) \frac{d}{d x} [1 - 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 3 x]}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(1 + 3 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 3 x]}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(1 + 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 3 x]}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{(1 + 3 x) \frac{d}{d x} [- 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 3 x]}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + 3 x) (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 3 x]}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(1 + 3 x) (- 3 \cdot 1) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 3 x]}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{(1 + 3 x) \cdot - 3 - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 3 x]}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $1 + 3 x$ .

$\frac{- 3 \cdot (1 + 3 x) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [1 + 3 x]}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 3 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{- 3 (1 + 3 x) - (1 - 3 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x])}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{- 3 (1 + 3 x) - (1 - 3 x) (0 + \frac{d}{d x} [3 x])}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{- 3 (1 + 3 x) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.10

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 3 (1 + 3 x) - (1 - 3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 (1 + 3 x) - 3 (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{- 3 (1 + 3 x) - 3 (1 - 3 x) \cdot 1}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 2.13

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{- 3 (1 + 3 x) - 3 (1 - 3 x)}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 \cdot 1 - 3 (3 x) - 3 (1 - 3 x)}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 \cdot 1 - 3 (3 x) - 3 \cdot 1 - 3 (- 3 x)}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{- 3 - 3 (3 x) - 3 \cdot 1 - 3 (- 3 x)}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$\frac{- 3 - 9 x - 3 \cdot 1 - 3 (- 3 x)}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$\frac{- 3 - 9 x - 3 - 3 (- 3 x)}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.1.4

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 3$ .

$\frac{- 3 - 9 x - 3 + 9 x}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 3 - 9 x - 3 + 9 x$ .

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $- 9 x$ und $9 x$ .

$\frac{- 3 + 0 - 3}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.2.2

Addiere $- 3$ und $0$ .

$\frac{- 3 - 3}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $3$ von $- 3$ .

$\frac{- 6}{{(1 + 3 x)}^{2}}$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{6}{{(1 + 3 x)}^{2}}$