Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{1}{8} x^{2} \cdot (4 \sqrt{x})$

Schritt 1

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{8} \cdot (4 \sqrt{x})]$

Schritt 2

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{2}}{8}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2}}{8} \cdot \sqrt{x}]$

Schritt 3

Kombiniere $\frac{4 x^{2}}{8}$ und $\sqrt{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2} \sqrt{x}}{8}]$

Schritt 4

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{2} x^{\frac{1}{2}}}{8}]$

Schritt 5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x^{\frac{1}{2}} x^{2})}{8}]$

Schritt 5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2} + 2}}{8}]$

Schritt 5.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}}{8}]$

Schritt 5.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}}{8}]$

Schritt 5.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1 + 2 \cdot 2}{2}}}{8}]$

Schritt 5.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1 + 4}{2}}}{8}]$

Schritt 5.6.2

Addiere $1$ und $4$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{8}]$

Schritt 6

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 (x^{\frac{5}{2}})}{8}]$

Schritt 7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{4 \cdot 2}]$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{4 \cdot 2}]$

Schritt 7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2}]$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{\frac{5}{2}}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Schritt 10

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 11

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 13

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Schritt 13.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\frac{1}{2} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Schritt 14

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Schritt 15

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 16

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{4}$