Analysis Beispiele

$f (x) = (8 x + \sqrt{x}) (5 x^{2} + 3)$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (5 x^{2} + 3)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 8 x + x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 5 x^{2} + 3$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 3] + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x^{2} + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x^{2}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (10 x + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (10 x + 0) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Addiere $10 x$ und $0$ .

$(8 x + x^{\frac{1}{2}}) (10 x) + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.6.2

Bringe $10$ auf die linke Seite von $8 x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$10 \cdot (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [8 x + x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 x + x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.8

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Schritt 10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 (8 x + x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(10 (8 x) + 10 x^{\frac{1}{2}}) x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$10 (8 x) x + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3

Vereine die Terme

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $10$ .

$80 x \cdot x + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$80 (x^{1} x) + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$80 (x^{1} x^{1}) + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$80 x^{1 + 1} + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{1}{2}} x + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$80 x^{2} + 10 (x^{1} x^{\frac{1}{2}}) + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$80 x^{2} + 10 x^{1 + \frac{1}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3.8

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{2 + 1}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.3.10

Addiere $2$ und $1$ .

$80 x^{2} + 10 x^{\frac{3}{2}} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

Schritt 11.4

Stelle die Terme um.

$80 x^{2} + (5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 11.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.5.1

Multipliziere $(5 x^{2} + 3) (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 11.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$80 x^{2} + 5 x^{2} (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 3 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 11.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$80 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 8 + 5 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 (8 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}) + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 11.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$80 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 8 + 5 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 11.5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.5.2.1

Mutltipliziere $8$ mit $5$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + 5 x^{2} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 11.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 11.5.2.2.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 11.5.2.2.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $2 x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 11.5.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{1}{2}} (5 x^{\frac{3}{2}}) \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 11.5.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$80 x^{2} + 40 x^{2} + 5 x^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 11.5.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + x^{\frac{3}{2}} \frac{5}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 11.5.2.4

Kombiniere $x^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{5}{2}$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 11.5.2.5

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x^{\frac{3}{2}}$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{5 \cdot x^{\frac{3}{2}}}{2} + 3 \cdot 8 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 11.5.2.6

Mutltipliziere $3$ mit $8$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + 3 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 11.5.2.7

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$80 x^{2} + 40 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 11.6

Addiere $80 x^{2}$ und $40 x^{2}$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 10 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 11.7

Um $10 x^{\frac{3}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 x^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.8

Kombiniere $10 x^{\frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{2}$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.10.1

Faktorisiere $5 x^{\frac{3}{2}}$ aus $5 x^{\frac{3}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} \cdot 2$ heraus.

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Schritt 11.10.1.1

Bewege $x^{\frac{3}{2}}$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} + 10 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.10.1.2

Faktorisiere $5 x^{\frac{3}{2}}$ aus $5 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1) + 10 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.10.1.3

Faktorisiere $5 x^{\frac{3}{2}}$ aus $10 \cdot 2 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1) + 5 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.10.1.4

Faktorisiere $5 x^{\frac{3}{2}}$ aus $5 x^{\frac{3}{2}} (1) + 5 x^{\frac{3}{2}} (2 \cdot 2)$ heraus.

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1 + 2 \cdot 2)}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} (1 + 4)}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.10.3

Addiere $1$ und $4$ .

$120 x^{2} + \frac{5 x^{\frac{3}{2}} \cdot 5}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 11.10.4

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$120 x^{2} + \frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 24 + \frac{3}{2 x^{\frac{1}{2}}}$