Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{\cot (2 x)}{\csc (5 x)}$

Schritt 1

Schreibe $\csc (5 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cot (2 x)}{\frac{1}{\sin (5 x)}}]$

Schritt 2

Schreibe $\cot (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{d}{d x} [\frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{1}{\sin (5 x)}}]$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (5 x)}$ zu dividieren.

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (5 x)]$

Schritt 4

Schreibe $\sin (5 x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{1}]$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Dividiere $\sin (5 x)$ durch $1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (5 x)]$

Schritt 5.2

Wandle von $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ nach $\cot (2 x)$ um.

$\frac{d}{d x} [\cot (2 x) \sin (5 x)]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \cot (2 x)$ und $g (x) = \sin (5 x)$ .

$\cot (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 5 x$ .

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Schritt 7.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $5 x$ .

$\cot (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Schritt 7.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cot (2 x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Schritt 7.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $5 x$ .

$\cot (2 x) (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Schritt 8

Differenziere.

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Schritt 8.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cot (2 x) \cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Schritt 8.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cot (2 x) \cos (5 x) (5 \cdot 1) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Schritt 8.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\cot (2 x) \cos (5 x) \cdot 5 + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Schritt 8.3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cot (2 x) \cos (5 x)$ .

$5 \cdot (\cot (2 x) \cos (5 x)) + \sin (5 x) \frac{d}{d x} [\cot (2 x)]$

Schritt 9

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cot (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 9.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $2 x$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 9.2

Die Ableitung von $\cot (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 9.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

Schritt 10

Differenziere.

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Schritt 10.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- \csc^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 10.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x) \cdot 1)$

Schritt 10.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$5 \cot (2 x) \cos (5 x) + \sin (5 x) (- 2 \csc^{2} (2 x))$

Schritt 11

Vereinfache.

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Schritt 11.1

Stelle die Terme um.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Schritt 11.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.2.1

Schreibe $\cot (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$5 \cos (5 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Schritt 11.2.2

Multipliziere $5 \cos (5 x) \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

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Schritt 11.2.2.1

Kombiniere $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ und $5$ .

$\frac{\cos (2 x) \cdot 5}{\sin (2 x)} \cos (5 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Schritt 11.2.2.2

Kombiniere $\frac{\cos (2 x) \cdot 5}{\sin (2 x)}$ und $\cos (5 x)$ .

$\frac{\cos (2 x) \cdot 5 \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Schritt 11.2.3

Bringe $5$ auf die linke Seite von $\cos (2 x)$ .

$\frac{5 \cdot \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$

Schritt 11.2.4

Schreibe $\csc (2 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 {(\frac{1}{\sin (2 x)})}^{2} \sin (5 x)$

Schritt 11.2.5

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{\sin (2 x)}$ an.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

Schritt 11.2.6

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - 2 \frac{1}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

Schritt 11.2.7

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{\sin^{2} (2 x)}$ .

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} + \frac{- 2}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

Schritt 11.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2}{\sin^{2} (2 x)} \sin (5 x)$

Schritt 11.2.9

Kombiniere $\sin (5 x)$ und $\frac{2}{\sin^{2} (2 x)}$ .

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{\sin (5 x) \cdot 2}{\sin^{2} (2 x)}$

Schritt 11.2.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin (5 x)$ .

$\frac{5 \cos (2 x) \cos (5 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

Schritt 11.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 11.3.1

Separiere Brüche.

$\frac{5 \cos (5 x)}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

Schritt 11.3.2

Wandle von $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ nach $\cot (2 x)$ um.

$\frac{5 \cos (5 x)}{1} \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

Schritt 11.3.3

Dividiere $5 \cos (5 x)$ durch $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin^{2} (2 x)}$

Schritt 11.3.4

Faktorisiere $\sin (2 x)$ aus $\sin^{2} (2 x)$ heraus.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - \frac{2 \sin (5 x)}{\sin (2 x) \sin (2 x)}$

Schritt 11.3.5

Separiere Brüche.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (5 x)}{\sin (2 x)})$

Schritt 11.3.6

Schreibe $\frac{\sin (5 x)}{\sin (2 x)}$ als ein Produkt um.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \frac{1}{\sin (2 x)}))$

Schritt 11.3.7

Schreibe $\sin (5 x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\frac{\sin (5 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}))$

Schritt 11.3.8

Vereinfache.

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Schritt 11.3.8.1

Dividiere $\sin (5 x)$ durch $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \frac{1}{\sin (2 x)}))$

Schritt 11.3.8.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (2 x)}$ nach $\csc (2 x)$ um.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

Schritt 11.3.9

Separiere Brüche.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)} (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

Schritt 11.3.10

Wandle von $\frac{1}{\sin (2 x)}$ nach $\csc (2 x)$ um.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (\frac{2}{1} \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

Schritt 11.3.11

Dividiere $2$ durch $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x)))$

Schritt 11.3.12

Multipliziere $2 \csc (2 x) (\sin (5 x) \csc (2 x))$ .

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Schritt 11.3.12.1

Potenziere $\csc (2 x)$ mit $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 (\csc^{1} (2 x) \csc (2 x)) \sin (5 x))$

Schritt 11.3.12.2

Potenziere $\csc (2 x)$ mit $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 (\csc^{1} (2 x) \csc^{1} (2 x)) \sin (5 x))$

Schritt 11.3.12.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 {\csc (2 x)}^{1 + 1} \sin (5 x))$

Schritt 11.3.12.4

Addiere $1$ und $1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - (2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x))$

Schritt 11.3.13

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$5 \cos (5 x) \cot (2 x) - 2 \csc^{2} (2 x) \sin (5 x)$