Analysis Beispiele

$f (x) = {(10 x + 4)}^{2} {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}$

Schritt 1

Schreibe ${(10 x + 4)}^{2}$ als $(10 x + 4) (10 x + 4)$ um.

$\frac{d}{d x} [(10 x + 4) (10 x + 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Schritt 2

Multipliziere $(10 x + 4) (10 x + 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(10 x (10 x + 4) + 4 (10 x + 4)) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(10 x (10 x) + 10 x \cdot 4 + 4 (10 x + 4)) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d}{d x} [(10 x (10 x) + 10 x \cdot 4 + 4 (10 x) + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d}{d x} [(10 \cdot 10 x \cdot x + 10 x \cdot 4 + 4 (10 x) + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Schritt 3.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.2.1

Bewege $x$ .

$\frac{d}{d x} [(10 \cdot 10 (x \cdot x) + 10 x \cdot 4 + 4 (10 x) + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{d}{d x} [(10 \cdot 10 x^{2} + 10 x \cdot 4 + 4 (10 x) + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $10$ mit $10$ .

$\frac{d}{d x} [(100 x^{2} + 10 x \cdot 4 + 4 (10 x) + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $10$ .

$\frac{d}{d x} [(100 x^{2} + 40 x + 4 (10 x) + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Schritt 3.1.5

Mutltipliziere $10$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [(100 x^{2} + 40 x + 40 x + 4 \cdot 4) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{d}{d x} [(100 x^{2} + 40 x + 40 x + 16) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Schritt 3.2

Addiere $40 x$ und $40 x$ .

$\frac{d}{d x} [(100 x^{2} + 80 x + 16) {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 100 x^{2} + 80 x + 16$ und $g (x) = {(4 x^{2} - 7)}^{- 3}$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) \frac{d}{d x} [{(4 x^{2} - 7)}^{- 3}] + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 3}$ und $g (x) = 4 x^{2} - 7$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 x^{2} - 7$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 7]) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 3$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 7]) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u$ durch $4 x^{2} - 7$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} - 7]) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{2} - 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Schritt 6.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Schritt 6.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} (8 x + \frac{d}{d x} [- 7])) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Schritt 6.5

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} (8 x + 0)) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Schritt 6.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.6.1

Addiere $8 x$ und $0$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 3 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} (8 x)) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 3$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} \frac{d}{d x} [100 x^{2} + 80 x + 16]$

Schritt 6.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $100 x^{2} + 80 x + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 6.8

Da $100$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $100 x^{2}$ nach $x$ gleich $100 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (100 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [80 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 6.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (100 (2 x) + \frac{d}{d x} [80 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 6.10

Mutltipliziere $2$ mit $100$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + \frac{d}{d x} [80 x] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 6.11

Da $80$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $80 x$ nach $x$ gleich $80 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + 80 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 6.12

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + 80 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 6.13

Mutltipliziere $80$ mit $1$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + 80 + \frac{d}{d x} [16])$

Schritt 6.14

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + 80 + 0)$

Schritt 6.15

Addiere $200 x + 80$ und $0$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 {(4 x^{2} - 7)}^{- 4} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + 80)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} x) + {(4 x^{2} - 7)}^{- 3} (200 x + 80)$

Schritt 7.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- 24 \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} x) + \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}} (200 x + 80)$

Schritt 7.3

Vereine die Terme

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Schritt 7.3.1

Kombiniere $- 24$ und $\frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (\frac{- 24}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} x) + \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}} (200 x + 80)$

Schritt 7.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- \frac{24}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} x) + \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}} (200 x + 80)$

Schritt 7.3.3

Kombiniere $x$ und $\frac{24}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- \frac{x \cdot 24}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}) + \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}} (200 x + 80)$

Schritt 7.3.4

Bringe $24$ auf die linke Seite von $x$ .

$(100 x^{2} + 80 x + 16) (- \frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}) + \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}} (200 x + 80)$

Schritt 7.4

Stelle die Terme um.

$- (100 x^{2} + 80 x + 16) \frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (100 x^{2}) - (80 x) - 1 \cdot 16) \frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.2

Vereinfache.

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Schritt 7.5.2.1

Mutltipliziere $100$ mit $- 1$ .

$(- 100 x^{2} - (80 x) - 1 \cdot 16) \frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.2.2

Mutltipliziere $80$ mit $- 1$ .

$(- 100 x^{2} - 80 x - 1 \cdot 16) \frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$(- 100 x^{2} - 80 x - 16) \frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.3

Mutltipliziere $- 100 x^{2} - 80 x - 16$ mit $\frac{24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$ .

$\frac{(- 100 x^{2} - 80 x - 16) (24 x)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.5.4.1

Faktorisiere $4$ aus $- 100 x^{2} - 80 x - 16$ heraus.

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Schritt 7.5.4.1.1

Faktorisiere $4$ aus $- 100 x^{2}$ heraus.

$\frac{(4 (- 25 x^{2}) - 80 x - 16) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 80 x$ heraus.

$\frac{(4 (- 25 x^{2}) + 4 (- 20 x) - 16) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.1.3

Faktorisiere $4$ aus $- 16$ heraus.

$\frac{(4 (- 25 x^{2}) + 4 (- 20 x) + 4 (- 4)) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.1.4

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 25 x^{2}) + 4 (- 20 x)$ heraus.

$\frac{(4 (- 25 x^{2} - 20 x) + 4 (- 4)) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (- 25 x^{2} - 20 x) + 4 (- 4)$ heraus.

$\frac{4 (- 25 x^{2} - 20 x - 4) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 7.5.4.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 25 \cdot - 4 = 100$ und deren Summe gleich $b = - 20$ ist.

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Schritt 7.5.4.2.1.1

Faktorisiere $- 20$ aus $- 20 x$ heraus.

$\frac{4 (- 25 x^{2} - 20 (x) - 4) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.2.1.2

Schreibe $- 20$ um als $- 10$ plus $- 10$

$\frac{4 (- 25 x^{2} + (- 10 - 10) x - 4) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 (- 25 x^{2} - 10 x - 10 x - 4) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 7.5.4.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{4 ((- 25 x^{2} - 10 x) - 10 x - 4) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{4 (5 x (- 5 x - 2) + 2 (- 5 x - 2)) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 5 x - 2$ .

$\frac{4 ((- 5 x - 2) (5 x + 2)) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

$\frac{4 (- 5 x - 2) (5 x + 2) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 7.5.4.3.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{4 (- (5 x) - 2) (5 x + 2) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.3.2

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{4 (- (5 x) - 1 (2)) (5 x + 2) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (5 x) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{4 (- (5 x + 2)) (5 x + 2) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.3.4

Schreibe $- (5 x + 2)$ als $- 1 (5 x + 2)$ um.

$\frac{4 (- 1 (5 x + 2)) (5 x + 2) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.3.5

Potenziere $5 x + 2$ mit $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 ({(5 x + 2)}^{1} (5 x + 2)) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.3.6

Potenziere $5 x + 2$ mit $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 ({(5 x + 2)}^{1} {(5 x + 2)}^{1}) \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{4 \cdot - 1 {(5 x + 2)}^{1 + 1} \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 {(5 x + 2)}^{2} \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.3.9

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 4 {(5 x + 2)}^{2} \cdot 24 x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.4.4

Mutltipliziere $24$ mit $- 4$ .

$\frac{- 96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + (200 x + 80) \frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.6

Mutltipliziere $200 x + 80$ mit $\frac{1}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$ .

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{200 x + 80}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.7

Faktorisiere $40$ aus $200 x + 80$ heraus.

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Schritt 7.5.7.1

Faktorisiere $40$ aus $200 x$ heraus.

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x) + 80}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.7.2

Faktorisiere $40$ aus $80$ heraus.

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x) + 40 (2)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.5.7.3

Faktorisiere $40$ aus $40 (5 x) + 40 (2)$ heraus.

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x + 2)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$

Schritt 7.6

Um $\frac{40 (5 x + 2)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 x^{2} - 7}{4 x^{2} - 7}$ .

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x + 2)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}} \cdot \frac{4 x^{2} - 7}{4 x^{2} - 7}$

Schritt 7.7

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von ${(4 x^{2} - 7)}^{4}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 7.7.1

Mutltipliziere $\frac{40 (5 x + 2)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3}}$ mit $\frac{4 x^{2} - 7}{4 x^{2} - 7}$ .

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3} (4 x^{2} - 7)}$

Schritt 7.7.2

Multipliziere ${(4 x^{2} - 7)}^{3}$ mit $4 x^{2} - 7$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.7.2.1

Mutltipliziere ${(4 x^{2} - 7)}^{3}$ mit $4 x^{2} - 7$ .

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Schritt 7.7.2.1.1

Potenziere $4 x^{2} - 7$ mit $1$ .

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3} {(4 x^{2} - 7)}^{1}}$

Schritt 7.7.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{3 + 1}}$

Schritt 7.7.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$- \frac{96 {(5 x + 2)}^{2} x}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}} + \frac{40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 96 {(5 x + 2)}^{2} x + 40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.9.1

Faktorisiere $8 (5 x + 2)$ aus $- 96 {(5 x + 2)}^{2} x + 40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)$ heraus.

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Schritt 7.9.1.1

Faktorisiere $8 (5 x + 2)$ aus $- 96 {(5 x + 2)}^{2} x$ heraus.

$\frac{8 (5 x + 2) (- 12 (5 x + 2) x) + 40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.9.1.2

Faktorisiere $8 (5 x + 2)$ aus $40 (5 x + 2) (4 x^{2} - 7)$ heraus.

$\frac{8 (5 x + 2) (- 12 (5 x + 2) x) + 8 (5 x + 2) (5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.9.1.3

Faktorisiere $8 (5 x + 2)$ aus $8 (5 x + 2) (- 12 (5 x + 2) x) + 8 (5 x + 2) (5 (4 x^{2} - 7))$ heraus.

$\frac{8 (5 x + 2) (- 12 (5 x + 2) x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (5 x + 2) ((- 12 (5 x) - 12 \cdot 2) x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.9.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 12$ .

$\frac{8 (5 x + 2) ((- 60 x - 12 \cdot 2) x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.9.4

Mutltipliziere $- 12$ mit $2$ .

$\frac{8 (5 x + 2) ((- 60 x - 24) x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.9.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (5 x + 2) (- 60 x \cdot x - 24 x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.9.6

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.9.6.1

Bewege $x$ .

$\frac{8 (5 x + 2) (- 60 (x \cdot x) - 24 x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.9.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{8 (5 x + 2) (- 60 x^{2} - 24 x + 5 (4 x^{2} - 7))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.9.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{8 (5 x + 2) (- 60 x^{2} - 24 x + 5 (4 x^{2}) + 5 \cdot - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.9.8

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{8 (5 x + 2) (- 60 x^{2} - 24 x + 20 x^{2} + 5 \cdot - 7)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.9.9

Mutltipliziere $5$ mit $- 7$ .

$\frac{8 (5 x + 2) (- 60 x^{2} - 24 x + 20 x^{2} - 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.9.10

Addiere $- 60 x^{2}$ und $20 x^{2}$ .

$\frac{8 (5 x + 2) (- 40 x^{2} - 24 x - 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 40 x^{2}$ heraus.

$\frac{8 (5 x + 2) (- (40 x^{2}) - 24 x - 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- 24 x$ heraus.

$\frac{8 (5 x + 2) (- (40 x^{2}) - (24 x) - 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (40 x^{2}) - (24 x)$ heraus.

$\frac{8 (5 x + 2) (- (40 x^{2} + 24 x) - 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.13

Schreibe $- 35$ als $- 1 (35)$ um.

$\frac{8 (5 x + 2) (- (40 x^{2} + 24 x) - 1 (35))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.14

Faktorisiere $- 1$ aus $- (40 x^{2} + 24 x) - 1 (35)$ heraus.

$\frac{8 (5 x + 2) (- (40 x^{2} + 24 x + 35))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.15

Schreibe $- (40 x^{2} + 24 x + 35)$ als $- 1 (40 x^{2} + 24 x + 35)$ um.

$\frac{8 (5 x + 2) (- 1 (40 x^{2} + 24 x + 35))}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.16

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(8 (5 x + 2)) (40 x^{2} + 24 x + 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$

Schritt 7.17

Stelle die Faktoren in $- \frac{(8 (5 x + 2)) (40 x^{2} + 24 x + 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$ um.

$- \frac{8 (5 x + 2) (40 x^{2} + 24 x + 35)}{{(4 x^{2} - 7)}^{4}}$