Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{2 x}{x + \sqrt{x}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{x + x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{x + x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + x^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = x + x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{(x + x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{(x + x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $x + x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [x + x^{\frac{1}{2}}]}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 9

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 10

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 11

Kombiniere $2$ und $\frac{x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{2 (x + x^{\frac{1}{2}} - x (1 + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}))}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (x + x^{\frac{1}{2}} - x \cdot 1 - x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x \cdot 1) + 2 (- x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.3.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} + 2 (- x) + 2 (- x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 (- x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 (- \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.3.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 \frac{- x}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + 2 \frac{- x}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x + \frac{- x}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.3.1.5

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.3.1.6

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.3.1.6.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - (x^{- \frac{1}{2}} x)}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.3.1.6.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 12.3.1.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - (x^{- \frac{1}{2}} x^{1})}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.3.1.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{- \frac{1}{2} + 1}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.3.1.6.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.3.1.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.3.1.6.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x + 2 x^{\frac{1}{2}} - 2 x - x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 12.3.2.1

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} + 0 - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.3.2.2

Addiere $2 x^{\frac{1}{2}}$ und $0$ .

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.3.3

Subtrahiere $x^{\frac{1}{2}}$ von $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.4.1

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x + x^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 12.4.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{1} + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.4.1.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.4.1.3

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1)}^{2}}$

Schritt 12.4.1.4

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{2}} \cdot 1$ heraus.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1))}^{2}}$

Schritt 12.4.2

Wende die Produktregel auf $x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{1}{2}} + 1)$ an.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Schritt 12.4.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 12.4.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Schritt 12.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Schritt 12.4.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x^{1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Schritt 12.4.4

Vereinfache.

$\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Schritt 12.5

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{x {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2} x^{- \frac{1}{2}}}$

Schritt 12.6

Multipliziere $x$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.6.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2}} x {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Schritt 12.6.2

Mutltipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 12.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2}} x^{1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Schritt 12.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2} + 1} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Schritt 12.6.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Schritt 12.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x^{\frac{- 1 + 2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$

Schritt 12.6.5

Addiere $- 1$ und $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 1)}^{2}}$