Analysis Beispiele

$6 {(6 e^{8 x} + 5)}^{2}$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 {(6 e^{8 x} + 5)}^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [{(6 e^{8 x} + 5)}^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [{(6 e^{8 x} + 5)}^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 6 e^{8 x} + 5$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $6 e^{8 x} + 5$ .

$6 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $6 e^{8 x} + 5$ .

$6 (2 (6 e^{8 x} + 5) \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$12 ((6 e^{8 x} + 5) \frac{d}{d x} [6 e^{8 x} + 5])$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 e^{8 x} + 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (\frac{d}{d x} [6 e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 3.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 e^{8 x}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [e^{8 x}]$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 \frac{d}{d x} [e^{8 x}] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = 8 x$ .

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Schritt 4.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $8 x$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [8 x]) + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ gleich $a^{u_{2}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [8 x]) + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $8 x$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 5

Differenziere.

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Schritt 5.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 x$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (6 e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $8$ mit $6$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $48$ mit $1$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} + \frac{d}{d x} [5])$

Schritt 5.5

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x} + 0)$

Schritt 5.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.6.1

Addiere $48 e^{8 x}$ und $0$ .

$12 (6 e^{8 x} + 5) (48 e^{8 x})$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $48$ mit $12$ .

$576 (6 e^{8 x} + 5) e^{8 x}$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(576 (6 e^{8 x}) + 576 \cdot 5) e^{8 x}$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$576 (6 e^{8 x}) e^{8 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Schritt 6.3

Vereine die Terme

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $6$ mit $576$ .

$3456 e^{8 x} e^{8 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Schritt 6.3.2

Multipliziere $e^{8 x}$ mit $e^{8 x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.3.2.1

Bewege $e^{8 x}$ .

$3456 (e^{8 x} e^{8 x}) + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Schritt 6.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3456 e^{8 x + 8 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Schritt 6.3.2.3

Addiere $8 x$ und $8 x$ .

$3456 e^{16 x} + 576 \cdot 5 e^{8 x}$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $576$ mit $5$ .

$3456 e^{16 x} + 2880 e^{8 x}$