Analysis Beispiele

$- 6 x {(2 x^{7} - 1)}^{7}$

Schritt 1

Da $- 6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 6 x {(2 x^{7} - 1)}^{7}$ nach $x$ gleich $- 6 \frac{d}{d x} [x {(2 x^{7} - 1)}^{7}]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [x {(2 x^{7} - 1)}^{7}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = {(2 x^{7} - 1)}^{7}$ .

$- 6 (x \frac{d}{d x} [{(2 x^{7} - 1)}^{7}] + {(2 x^{7} - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{7}$ und $g (x) = 2 x^{7} - 1$ .

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Schritt 3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x^{7} - 1$ .

$- 6 (x (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [2 x^{7} - 1]) + {(2 x^{7} - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$- 6 (x (7 u^{6} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - 1]) + {(2 x^{7} - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x^{7} - 1$ .

$- 6 (x (7 {(2 x^{7} - 1)}^{6} \frac{d}{d x} [2 x^{7} - 1]) + {(2 x^{7} - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere.

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{7} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 6 (x (7 {(2 x^{7} - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} [2 x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{7} - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{7}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{7}]$ .

$- 6 (x (7 {(2 x^{7} - 1)}^{6} (2 \frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{7} - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$- 6 (x (7 {(2 x^{7} - 1)}^{6} (2 (7 x^{6}) + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{7} - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$- 6 (x (7 {(2 x^{7} - 1)}^{6} (14 x^{6} + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(2 x^{7} - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 6 (x (7 {(2 x^{7} - 1)}^{6} (14 x^{6} + 0)) + {(2 x^{7} - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.6.1

Addiere $14 x^{6}$ und $0$ .

$- 6 (x (7 {(2 x^{7} - 1)}^{6} (14 x^{6})) + {(2 x^{7} - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4.6.2

Mutltipliziere $14$ mit $7$ .

$- 6 (x (98 {(2 x^{7} - 1)}^{6} x^{6}) + {(2 x^{7} - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 6 (x^{6} x^{1} (98 {(2 x^{7} - 1)}^{6}) + {(2 x^{7} - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 6 (x^{6 + 1} (98 {(2 x^{7} - 1)}^{6}) + {(2 x^{7} - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 7

Addiere $6$ und $1$ .

$- 6 (x^{7} (98 {(2 x^{7} - 1)}^{6}) + {(2 x^{7} - 1)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 (x^{7} (98 {(2 x^{7} - 1)}^{6}) + {(2 x^{7} - 1)}^{7} \cdot 1)$

Schritt 9

Mutltipliziere ${(2 x^{7} - 1)}^{7}$ mit $1$ .

$- 6 (x^{7} (98 {(2 x^{7} - 1)}^{6}) + {(2 x^{7} - 1)}^{7})$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 6 (x^{7} (98 {(2 x^{7} - 1)}^{6})) - 6 {(2 x^{7} - 1)}^{7}$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $98$ mit $- 6$ .

$- 588 (x^{7} ({(2 x^{7} - 1)}^{6})) - 6 {(2 x^{7} - 1)}^{7}$

Schritt 10.3

Faktorisiere $6 {(2 x^{7} - 1)}^{6}$ aus $- 588 x^{7} {(2 x^{7} - 1)}^{6} - 6 {(2 x^{7} - 1)}^{7}$ heraus.

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Schritt 10.3.1

Faktorisiere $6 {(2 x^{7} - 1)}^{6}$ aus $- 588 x^{7} {(2 x^{7} - 1)}^{6}$ heraus.

$6 {(2 x^{7} - 1)}^{6} (- 98 x^{7}) - 6 {(2 x^{7} - 1)}^{7}$

Schritt 10.3.2

Faktorisiere $6 {(2 x^{7} - 1)}^{6}$ aus $- 6 {(2 x^{7} - 1)}^{7}$ heraus.

$6 {(2 x^{7} - 1)}^{6} (- 98 x^{7}) + 6 {(2 x^{7} - 1)}^{6} (- (2 x^{7} - 1))$

Schritt 10.3.3

Faktorisiere $6 {(2 x^{7} - 1)}^{6}$ aus $6 {(2 x^{7} - 1)}^{6} (- 98 x^{7}) + 6 {(2 x^{7} - 1)}^{6} (- (2 x^{7} - 1))$ heraus.

$6 {(2 x^{7} - 1)}^{6} (- 98 x^{7} - (2 x^{7} - 1))$