Analysis Beispiele

$6 x (4 x^{5} - 7 x)$

Schritt 1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x (4 x^{5} - 7 x)$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x (4 x^{5} - 7 x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x (4 x^{5} - 7 x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = 4 x^{5} - 7 x$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [4 x^{5} - 7 x] + (4 x^{5} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 x^{5} - 7 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$6 (x (\frac{d}{d x} [4 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]) + (4 x^{5} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{5}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$6 (x (4 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 7 x]) + (4 x^{5} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$6 (x (4 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 7 x]) + (4 x^{5} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$6 (x (20 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 7 x]) + (4 x^{5} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5

Da $- 7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 7 x$ nach $x$ gleich $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (x (20 x^{4} - 7 \frac{d}{d x} [x]) + (4 x^{5} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 (x (20 x^{4} - 7 \cdot 1) + (4 x^{5} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$6 (x (20 x^{4} - 7) + (4 x^{5} - 7 x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 (x (20 x^{4} - 7) + (4 x^{5} - 7 x) \cdot 1)$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $4 x^{5} - 7 x$ mit $1$ .

$6 (x (20 x^{4} - 7) + 4 x^{5} - 7 x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (x (20 x^{4}) + x \cdot - 7 + 4 x^{5} - 7 x)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (x (20 x^{4})) + 6 (x \cdot - 7) + 6 (4 x^{5}) + 6 (- 7 x)$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$6 (20 (x^{1} x^{4})) + 6 (x \cdot - 7) + 6 (4 x^{5}) + 6 (- 7 x)$

Schritt 4.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 (20 x^{1 + 4}) + 6 (x \cdot - 7) + 6 (4 x^{5}) + 6 (- 7 x)$

Schritt 4.3.3

Addiere $1$ und $4$ .

$6 (20 x^{5}) + 6 (x \cdot - 7) + 6 (4 x^{5}) + 6 (- 7 x)$

Schritt 4.3.4

Mutltipliziere $20$ mit $6$ .

$120 x^{5} + 6 (x \cdot - 7) + 6 (4 x^{5}) + 6 (- 7 x)$

Schritt 4.3.5

Bringe $- 7$ auf die linke Seite von $x$ .

$120 x^{5} + 6 (- 7 \cdot x) + 6 (4 x^{5}) + 6 (- 7 x)$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $- 7$ mit $6$ .

$120 x^{5} - 42 x + 6 (4 x^{5}) + 6 (- 7 x)$

Schritt 4.3.7

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$120 x^{5} - 42 x + 24 x^{5} + 6 (- 7 x)$

Schritt 4.3.8

Addiere $120 x^{5}$ und $24 x^{5}$ .

$144 x^{5} - 42 x + 6 (- 7 x)$

Schritt 4.3.9

Mutltipliziere $- 7$ mit $6$ .

$144 x^{5} - 42 x - 42 x$

Schritt 4.3.10

Subtrahiere $42 x$ von $- 42 x$ .

$144 x^{5} - 84 x$