Analysis Beispiele

$7 e^{x \cos (x)}$

Schritt 1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 e^{x \cos (x)}$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}]$ .

$7 \frac{d}{d x} [e^{x \cos (x)}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x \cos (x)$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x \cos (x)$ .

$7 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \cos (x)])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$7 (e^{u} \frac{d}{d x} [x \cos (x)])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $x \cos (x)$ .

$7 (e^{x \cos (x)} \frac{d}{d x} [x \cos (x)])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = \cos (x)$ .

$7 e^{x \cos (x)} (x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$7 e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 5.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$7 e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 e^{x \cos (x)} (x (- \sin (x))) + 7 e^{x \cos (x)} \cos (x)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- 7 e^{x \cos (x)} x \sin (x) + 7 e^{x \cos (x)} \cos (x)$