Analysis Beispiele

$7 e^{- 3 x} \ln (x)$

Schritt 1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 e^{- 3 x} \ln (x)$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} \ln (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} \ln (x)]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{- 3 x}$ und $g (x) = \ln (x)$ .

$7 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Schritt 3

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$7 (e^{- 3 x} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Schritt 4

Kombiniere $e^{- 3 x}$ und $\frac{1}{x}$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - 3 x$ .

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Schritt 5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 3 x$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Schritt 5.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u$ durch $- 3 x$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

Schritt 6

Differenziere.

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Schritt 6.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])))$

Schritt 6.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)))$

Schritt 6.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $1$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (e^{- 3 x} \cdot - 3))$

Schritt 6.3.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $e^{- 3 x}$ .

$7 (\frac{e^{- 3 x}}{x} + \ln (x) (- 3 \cdot e^{- 3 x}))$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$7 \frac{e^{- 3 x}}{x} + 7 (\ln (x) (- 3 e^{- 3 x}))$

Schritt 7.2

Vereine die Terme

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $7$ und $\frac{e^{- 3 x}}{x}$ .

$\frac{7 e^{- 3 x}}{x} + 7 (\ln (x) (- 3 e^{- 3 x}))$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $7$ .

$\frac{7 e^{- 3 x}}{x} - 21 \ln (x) e^{- 3 x}$

Schritt 7.3

Stelle die Terme um.

$- 21 e^{- 3 x} \ln (x) + \frac{7 e^{- 3 x}}{x}$