Analysis Beispiele

$8 \sqrt{6 x^{2} + 7}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6 x^{2} + 7}$ als ${(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [8 {(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 1.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 {(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [{(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = 6 x^{2} + 7$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $6 x^{2} + 7$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 7])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 7])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $6 x^{2} + 7$ .

$8 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 7])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 7])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 7])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$8 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 7])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$8 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 7])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$8 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} + 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 7])$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$8 (\frac{1}{2} {(6 x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 7])$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und ${(6 x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 (\frac{{(6 x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 7])$

Schritt 9

Bringe ${(6 x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (\frac{1}{2 {(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 7])$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2 {(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ und $8$ .

$\frac{8}{2 {(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 7]$

Schritt 11

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 {(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 7]$

Schritt 12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot 4}{2 ({(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 7]$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 4}{2 {(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 7]$

Schritt 12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{{(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + 7]$

Schritt 13

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x^{2} + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{4}{{(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 14

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x^{2}$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{4}{{(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{4}{{(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 16

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{4}{{(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (12 x + \frac{d}{d x} [7])$

Schritt 17

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{4}{{(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (12 x + 0)$

Schritt 18

Kombiniere Brüche.

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Schritt 18.1

Addiere $12 x$ und $0$ .

$\frac{4}{{(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (12 x)$

Schritt 18.2

Kombiniere $12$ und $\frac{4}{{(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{12 \cdot 4}{{(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 18.3

Mutltipliziere $12$ mit $4$ .

$\frac{48}{{(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} x$

Schritt 18.4

Kombiniere $\frac{48}{{(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ und $x$ .

$\frac{48 x}{{(6 x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$