Analysis Beispiele

$arcsec (\frac{1}{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = arcsec (x)$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $arcsec (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{x} \sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}{x}$ zu dividieren.

$1 \frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$ mit $1$ .

$\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 4.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}} (- x^{- 2})$

Schritt 6

Kombiniere $\frac{x}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$ und $x^{- 2}$ .

$- \frac{x \cdot x^{- 2}}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$

Schritt 7

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ .

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Schritt 7.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- \frac{x^{1} x^{- 2}}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$

Schritt 7.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x^{1 - 2}}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$

Schritt 7.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \frac{x^{- 1}}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1}}$

Schritt 8

Bringe $x^{- 1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} - 1} x}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{x}$ an.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1^{2}}{x^{2}} - 1} x}$

Schritt 9.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{x^{2}} - 1} x}$