Analysis Beispiele

$arccsc (x^{2} + 1)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = arccsc (x)$ und $g (x) = x^{2} + 1$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $arccsc (u)$ nach $u$ ist $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (2 x + 0)$

Schritt 2.4

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.4.1

Addiere $2 x$ und $0$ .

$- \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (2 x)$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

Schritt 2.4.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ .

$\frac{- 2}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

Schritt 2.4.4

Kombiniere $\frac{- 2}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ und $x$ .

$\frac{- 2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$

Schritt 2.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{{(x^{2} + 1)}^{2} - 1^{2}}}$

Schritt 3.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x^{2} + 1$ und $b = 1$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 1 + 1) (x^{2} + 1 - 1)}}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.1.3.1

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 2) (x^{2} + 1 - 1)}}$

Schritt 3.1.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 2) (x^{2} + 0)}}$

Schritt 3.1.3.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{(x^{2} + 2) x^{2}}}$

Schritt 3.1.4

Stelle $x^{2} + 2$ und $x^{2}$ um.

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} (x^{2} + 2)}}$

Schritt 3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 x}{(x^{2} + 1) x \sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $\frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$- (\frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}})$

Schritt 3.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + 2}}{\sqrt{x^{2} + 2}}$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) \sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2}}$

Schritt 3.4.2

Bewege $\sqrt{x^{2} + 2}$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (\sqrt{x^{2} + 2} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $\sqrt{x^{2} + 2}$ mit $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} \sqrt{x^{2} + 2})}$

Schritt 3.4.4

Potenziere $\sqrt{x^{2} + 2}$ mit $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) ({\sqrt{x^{2} + 2}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1})}$

Schritt 3.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}}$

Schritt 3.4.7

Schreibe ${\sqrt{x^{2} + 2}}^{2}$ als $x^{2} + 2$ um.

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Schritt 3.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 2}$ als ${(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {({(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) {(x^{2} + 2)}^{1}}$

Schritt 3.4.7.5

Vereinfache.

$- \frac{2 \sqrt{x^{2} + 2}}{(x^{2} + 1) (x^{2} + 2)}$