Analysis Beispiele

$arccsc (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = arccsc (x)$ und $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $arccsc (u)$ nach $u$ ist $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{x}{2} \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{x}{2}$ und $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ .

$- \frac{1}{\frac{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}{2}$ zu dividieren.

$- (1 \frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 4

Mutltipliziere $\frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ mit $1$ .

$- \frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{2}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$ .

$- \frac{2}{2 (x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1})} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{2 x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}} \cdot 1$

Schritt 8

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{2}$ an.

$- \frac{1}{x \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}} - 1}}$

Schritt 9.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{1}{x \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - 1}}$