Analysis Beispiele

$\arctan (x e^{x})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = x e^{x}$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$\frac{1}{1 + {(x e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Wende die Produktregel auf $x e^{x}$ an.

$\frac{1}{1 + x^{2} {(e^{x})}^{2}} (x e^{x} + e^{x})$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} e^{x \cdot 2}} (x e^{x} + e^{x})$

Schritt 5.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}} (x e^{x} + e^{x})$

Schritt 5.3

Stelle die Faktoren von $\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}} (x e^{x} + e^{x})$ um.

$(x e^{x} + e^{x}) \frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Schritt 5.4

Mutltipliziere $x e^{x} + e^{x}$ mit $\frac{1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$ .

$\frac{x e^{x} + e^{x}}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Schritt 5.5

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x e^{x} + e^{x}$ heraus.

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Schritt 5.5.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $x e^{x}$ heraus.

$\frac{e^{x} x + e^{x}}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Schritt 5.5.2

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{x} x + e^{x} \cdot 1}{1 + x^{2} e^{2 x}}$

Schritt 5.5.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ heraus.

$\frac{e^{x} (x + 1)}{1 + x^{2} e^{2 x}}$