Analysis Beispiele

$\arctan (\frac{x}{y})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \frac{x}{y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Schritt 2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $\frac{1}{y}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{y}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{y})}^{2}}$ .

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})} \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})}$ mit $1$ .

$\frac{1}{y (1 + {(\frac{x}{y})}^{2})}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{y}$ an.

$\frac{1}{y (1 + \frac{x^{2}}{y^{2}})}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{y \cdot 1 + y \frac{x^{2}}{y^{2}}}$

Schritt 3.3

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{1}{y + y \frac{x^{2}}{y^{2}}}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $y$ und $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y + \frac{y x^{2}}{y^{2}}}$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y + \frac{y (x^{2})}{y^{2}}}$

Schritt 3.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y + \frac{y (x^{2})}{y \cdot y}}$

Schritt 3.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y + \frac{y x^{2}}{y \cdot y}}$

Schritt 3.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y + \frac{x^{2}}{y}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Um $y$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{1}{\frac{y \cdot y}{y} + \frac{x^{2}}{y}}$

Schritt 3.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{\frac{y \cdot y + x^{2}}{y}}$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$\frac{1}{\frac{y^{2} + x^{2}}{y}}$

Schritt 3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$1 \frac{y}{y^{2} + x^{2}}$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{y}{y^{2} + x^{2}}$