Analysis Beispiele

$\arctan (\frac{9}{x}) + \arctan (\frac{3}{x})$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\arctan (\frac{9}{x}) + \arctan (\frac{3}{x})$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{9}{x})]$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \frac{9}{x}$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{9}{x}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Schritt 2.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{9}{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}] + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Schritt 2.2

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{9}{x}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (9 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $9$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} (- 9 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Schritt 2.6

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}}$ .

$\frac{- 9}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Schritt 2.7

Kombiniere $\frac{- 9}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}}$ und $x^{- 2}$ .

$\frac{- 9 x^{- 2}}{1 + {(\frac{9}{x})}^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Schritt 2.8

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Schritt 2.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\arctan (\frac{3}{x})]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \frac{3}{x}$ .

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Schritt 3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [\arctan (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Schritt 3.1.2

Die Ableitung von $\arctan (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {u_{2}}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Schritt 3.1.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\frac{3}{x}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$

Schritt 3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3}{x}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Schritt 3.3

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (3 (- x^{- 2}))$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} (- 3 x^{- 2})$

Schritt 3.6

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}} x^{- 2}$

Schritt 3.7

Kombiniere $\frac{- 3}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$ und $x^{- 2}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3 x^{- 2}}{1 + {(\frac{3}{x})}^{2}}$

Schritt 3.8

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} + \frac{- 3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

Schritt 3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{9}{(1 + {(\frac{9}{x})}^{2}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende die Produktregel auf $\frac{9}{x}$ an.

$- \frac{9}{(1 + \frac{9^{2}}{x^{2}}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + {(\frac{3}{x})}^{2}) x^{2}}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{x}$ an.

$- \frac{9}{(1 + \frac{9^{2}}{x^{2}}) x^{2}} - \frac{3}{(1 + \frac{3^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{9}{1 x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{(1 + \frac{3^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

Schritt 4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{9}{1 x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 4.5

Vereine die Terme

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{9^{2}}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 4.5.2

Potenziere $9$ mit $2$ .

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81}{x^{2}} x^{2}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 4.5.3

Kombiniere $\frac{81}{x^{2}}$ und $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81 x^{2}}{x^{2}}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 4.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{9}{x^{2} + \frac{81 x^{2}}{x^{2}}} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 4.5.4.2

Dividiere $81$ durch $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{1 x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 4.5.5

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{3^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 4.5.6

Potenziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9}{x^{2}} x^{2}}$

Schritt 4.5.7

Kombiniere $\frac{9}{x^{2}}$ und $x^{2}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 4.5.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.5.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + \frac{9 x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 4.5.8.2

Dividiere $9$ durch $1$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} - \frac{3}{x^{2} + 9}$

Schritt 4.5.9

Um $- \frac{9}{x^{2} + 81}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9}$

Schritt 4.5.10

Um $- \frac{3}{x^{2} + 9}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$ .

$- \frac{9}{x^{2} + 81} \cdot \frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9} - \frac{3}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$

Schritt 4.5.11

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.5.11.1

Mutltipliziere $\frac{9}{x^{2} + 81}$ mit $\frac{x^{2} + 9}{x^{2} + 9}$ .

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$

Schritt 4.5.11.2

Mutltipliziere $\frac{3}{x^{2} + 9}$ mit $\frac{x^{2} + 81}{x^{2} + 81}$ .

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 9) (x^{2} + 81)}$

Schritt 4.5.11.3

Stelle die Faktoren von $(x^{2} + 9) (x^{2} + 81)$ um.

$- \frac{9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)} - \frac{3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Schritt 4.5.12

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 9 (x^{2} + 9) - 3 (x^{2} + 81)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Schritt 4.6

Stelle die Terme um.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81) - 9 (x^{2} + 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Schritt 4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.7.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (x^{2} + 81) - 9 (x^{2} + 9)$ heraus.

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Schritt 4.7.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 9 (x^{2} + 9)$ heraus.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81) - 3 (3 (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Schritt 4.7.1.2

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 (x^{2} + 81) - 3 (3 (x^{2} + 9))$ heraus.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 (x^{2} + 9))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Schritt 4.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 x^{2} + 3 \cdot 9)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Schritt 4.7.3

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$\frac{- 3 (x^{2} + 81 + 3 x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Schritt 4.7.4

Addiere $x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 81 + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Schritt 4.7.5

Addiere $81$ und $27$ .

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 108)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Schritt 4.7.6

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 108$ heraus.

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Schritt 4.7.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2}$ heraus.

$\frac{- 3 (4 (x^{2}) + 108)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Schritt 4.7.6.2

Faktorisiere $4$ aus $108$ heraus.

$\frac{- 3 (4 x^{2} + 4 \cdot 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Schritt 4.7.6.3

Faktorisiere $4$ aus $4 x^{2} + 4 \cdot 27$ heraus.

$\frac{- 3 (4 (x^{2} + 27))}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

$\frac{- 3 \cdot 4 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Schritt 4.7.7

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$\frac{- 12 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$

Schritt 4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{12 (x^{2} + 27)}{(x^{2} + 81) (x^{2} + 9)}$