Analysis Beispiele

$\arctan (\frac{6 x}{5})$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = \frac{6 x}{5}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{6 x}{5}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{6 x}{5}]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{6 x}{5}]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{6 x}{5}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{6 x}{5}]$

Schritt 2

Differenziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Da $\frac{6}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6 x}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2}} (\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.2

Mutltipliziere $\frac{6}{5}$ mit $\frac{1}{1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2}}$ .

$\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})} \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})}$ mit $1$ .

$\frac{6}{5 (1 + {(\frac{6 x}{5})}^{2})}$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{6 x}{5}$ an.

$\frac{6}{5 (1 + \frac{{(6 x)}^{2}}{5^{2}})}$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel auf $6 x$ an.

$\frac{6}{5 (1 + \frac{6^{2} x^{2}}{5^{2}})}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6}{5 \cdot 1 + 5 \frac{6^{2} x^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 3.4

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$\frac{6}{5 + 5 \frac{6^{2} x^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 3.4.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\frac{6}{5 + 5 \frac{36 x^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 3.4.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\frac{6}{5 + 5 \frac{36 x^{2}}{25}}$

Schritt 3.4.4

Kombiniere $5$ und $\frac{36 x^{2}}{25}$ .

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{25}}$

Schritt 3.4.5

Mutltipliziere $36$ mit $5$ .

$\frac{6}{5 + \frac{180 x^{2}}{25}}$

Schritt 3.4.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $180$ und $25$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.6.1

Faktorisiere $5$ aus $180 x^{2}$ heraus.

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{25}}$

Schritt 3.4.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{5 (5)}}$

Schritt 3.4.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6}{5 + \frac{5 (36 x^{2})}{5 \cdot 5}}$

Schritt 3.4.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6}{5 + \frac{36 x^{2}}{5}}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{6}{\frac{36 x^{2}}{5} + 5}$

Schritt 3.6

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Um $5$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{\frac{36 x^{2}}{5} + 5 \cdot \frac{5}{5}}$

Schritt 3.6.2

Kombiniere $5$ und $\frac{5}{5}$ .

$\frac{6}{\frac{36 x^{2}}{5} + \frac{5 \cdot 5}{5}}$

Schritt 3.6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6}{\frac{36 x^{2} + 5 \cdot 5}{5}}$

Schritt 3.6.4

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{6}{\frac{36 x^{2} + 25}{5}}$

Schritt 3.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$6 \frac{5}{36 x^{2} + 25}$

Schritt 3.8

Multipliziere $6 \frac{5}{36 x^{2} + 25}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.8.1

Kombiniere $6$ und $\frac{5}{36 x^{2} + 25}$ .

$\frac{6 \cdot 5}{36 x^{2} + 25}$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $6$ mit $5$ .

$\frac{30}{36 x^{2} + 25}$