Analysis Beispiele

$9 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} + \sqrt{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $9 x^{3} - \frac{2}{3} x^{2} + \sqrt{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [9 x^{3}]$ .

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Schritt 2.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $9 x^{3}$ nach $x$ gleich $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$27 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{2}]$ .

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Schritt 3.1

Da $- \frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{3} x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$27 x^{2} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$27 x^{2} - \frac{2}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$27 x^{2} - 2 (\frac{2}{3}) x + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{3}$ .

$27 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{3} x + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$27 x^{2} + \frac{- 4}{3} x + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{- 4}{3}$ und $x$ .

$27 x^{2} + \frac{- 4 x}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Schritt 4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$27 x^{2} - \frac{4 x}{3} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$