Analysis Beispiele

$f (x) = (x^{2} + 1) \sec (x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} + 1$ und $g (x) = \sec (x)$ .

$(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$(x^{2} + 1) (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(x^{2} + 1) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} + 1) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Schritt 3.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} + 1) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x + 0)$

Schritt 3.4

Addiere $2 x$ und $0$ .

$(x^{2} + 1) \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x^{2} \sec (x) + 1 \sec (x)) \tan (x) + \sec (x) (2 x)$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + 1 \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x)$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\sec (x)$ mit $1$ .

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + \sec (x) (2 x)$

Schritt 4.4

Stelle die Terme um.

$x^{2} \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \tan (x) + 2 x \sec (x)$