Analysis Beispiele

Berechne den Grenzwert Grenzwert von (1+a/x)^x, wenn x gegen infinity geht
Schritt 1
Vereine die Terme
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 1.1
Schreibe als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.
Schritt 1.2
Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.
Schritt 2
Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 2.1
Schreibe als um.
Schritt 2.2
Zerlege durch Herausziehen von aus dem Logarithmus.
Schritt 3
Bringe den Grenzwert in den Exponenten.
Schritt 4
Schreibe als um.
Schritt 5
Wende die Regel von de L’Hospital an.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1
Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.1
Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.
Schritt 5.1.2
Berechne den Grenzwert des Zählers.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.2.1
Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.
Schritt 5.1.2.2
Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von im Nenner, was ist.
Schritt 5.1.2.3
Berechne den Grenzwert.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.2.3.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.2.3.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.1.2.3.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.1.2.3.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.2.3.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.1.2.3.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.1.2.3.3
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 5.1.2.3.4
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 5.1.2.3.5
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 5.1.2.3.6
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 5.1.2.4
Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch .
Schritt 5.1.2.5
Berechne den Grenzwert.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.2.5.1
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 5.1.2.5.2
Vereinfache die Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.1.2.5.2.1
Dividiere durch .
Schritt 5.1.2.5.2.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.1.2.5.2.3
Addiere und .
Schritt 5.1.2.5.2.4
Der natürliche Logarithmus von ist .
Schritt 5.1.3
Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch .
Schritt 5.1.4
Der Ausdruck enthält eine Division durch . Der Ausdruck ist nicht definiert.
Undefiniert
Schritt 5.2
Da unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.
Schritt 5.3
Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.1
Differenziere den Zähler und Nenner.
Schritt 5.3.2
Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass ist , mit und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.2.1
Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze durch .
Schritt 5.3.2.2
Die Ableitung von nach ist .
Schritt 5.3.2.3
Ersetze alle durch .
Schritt 5.3.3
Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch zu dividieren.
Schritt 5.3.4
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.5
Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass gleich ist mit und .
Schritt 5.3.6
Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von nach .
Schritt 5.3.7
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.3.8
Da konstant bezüglich ist, ist die Ableitung von bezüglich gleich .
Schritt 5.3.9
Addiere und .
Schritt 5.3.10
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.11
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.3.12
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.13
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.3.14
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.14.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.3.14.2
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.3.14.3
Forme den Ausdruck um.
Schritt 5.3.15
Vereinfache.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.15.1
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.15.2
Wende das Distributivgesetz an.
Schritt 5.3.15.3
Vereinfache den Zähler.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.15.3.1
Subtrahiere von .
Schritt 5.3.15.3.2
Subtrahiere von .
Schritt 5.3.15.4
Vereine die Terme
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.15.4.1
Potenziere mit .
Schritt 5.3.15.4.2
Potenziere mit .
Schritt 5.3.15.4.3
Wende die Exponentenregel an, um die Exponenten zu kombinieren.
Schritt 5.3.15.4.4
Addiere und .
Schritt 5.3.15.4.5
Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.
Schritt 5.3.15.5
Faktorisiere aus heraus.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.3.15.5.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.3.15.5.2
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.3.15.5.3
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.3.16
Schreibe als um.
Schritt 5.3.17
Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass gleich ist mit .
Schritt 5.3.18
Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten .
Schritt 5.4
Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.
Schritt 5.5
Vereinige Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.5.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.2
Mutltipliziere mit .
Schritt 5.5.3
Kombiniere und .
Schritt 5.6
Kürze den gemeinsamen Teiler von und .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.6.1
Faktorisiere aus heraus.
Schritt 5.6.2
Kürze die gemeinsamen Faktoren.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 5.6.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 5.6.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 6
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 7
Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von im Nenner, was ist.
Schritt 8
Berechne den Grenzwert.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.1
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.1.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 8.1.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 8.2
Kürze den gemeinsamen Faktor von .
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 8.2.1
Kürze den gemeinsamen Faktor.
Schritt 8.2.2
Forme den Ausdruck um.
Schritt 8.3
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 8.4
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 8.5
Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn sich an annähert.
Schritt 8.6
Berechne den Grenzwert von , welcher konstant ist, wenn sich annähert.
Schritt 8.7
Ziehe den Term aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich ist.
Schritt 9
Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch .
Schritt 10
Vereinfache die Lösung.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.1
Vereinfache den Nenner.
Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...
Schritt 10.1.1
Mutltipliziere mit .
Schritt 10.1.2
Addiere und .
Schritt 10.2
Dividiere durch .
Schritt 10.3
Mutltipliziere mit .