Analysis Beispiele

$f (x) = (1 + 4 x^{2}) \arctan (2 x)$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 1 + 4 x^{2}$ und $g (x) = \arctan (2 x)$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{d}{d x} [\arctan (2 x)] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \arctan (x)$ und $g (x) = 2 x$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Schritt 2.2

Die Ableitung von $\arctan (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + {(2 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + {(2 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Schritt 3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $2 (x)$ an.

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + 2^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(1 + 4 x^{2}) (\frac{1}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [2 x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Schritt 3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{1}{1 + 4 x^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Schritt 3.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{1 + 4 x^{2}}$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $1 + 4 x^{2}$ mit $1$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [1 + 4 x^{2}]$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 4 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Schritt 3.8

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (0 + \frac{d}{d x} [4 x^{2}])$

Schritt 3.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) \frac{d}{d x} [4 x^{2}]$

Schritt 3.10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{2}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (4 (2 x))$

Schritt 3.12

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + \arctan (2 x) (8 x)$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Stelle die Terme um.

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + 8 x \arctan (2 x)$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + 4 x^{2}$ .

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(1 + 4 x^{2}) \frac{2}{1 + 4 x^{2}} + 8 x \arctan (2 x)$

Schritt 4.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 + 8 x \arctan (2 x)$