Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2^{x}}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Schritt 1.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Schritt 1.1.3

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $2^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{\infty}{\infty}$

Schritt 1.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2^{x} \ln (2)}$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{2}{\ln (2)}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{x}{2^{x}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Schritt 3.1.2

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 2^{x}}$

Schritt 3.1.3

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $2^{x}$ $\infty$ an.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Schritt 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{2^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [2^{x}]}$

Schritt 3.3.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $2$ .

$\frac{2}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{x} \ln (2)}$

Schritt 4

Ziehe den Term $\frac{1}{\ln (2)}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{2^{x}}$

Schritt 5

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{2^{x}}$ $0$ .

$\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)} \cdot 0$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Multipliziere $\frac{2}{\ln (2)} \cdot \frac{1}{\ln (2)}$ .

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $\frac{2}{\ln (2)}$ mit $\frac{1}{\ln (2)}$ .

$\frac{2}{\ln (2) \ln (2)} \cdot 0$

Schritt 6.1.2

Potenziere $\ln (2)$ mit $1$ .

$\frac{2}{\ln^{1} (2) \ln (2)} \cdot 0$

Schritt 6.1.3

Potenziere $\ln (2)$ mit $1$ .

$\frac{2}{\ln^{1} (2) \ln^{1} (2)} \cdot 0$

Schritt 6.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2}{{\ln (2)}^{1 + 1}} \cdot 0$

Schritt 6.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2}{\ln^{2} (2)} \cdot 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{2}{\ln^{2} (2)}$ mit $0$ .

$0$