Analysis Beispiele

$f (x) = (10 - 5 x) e^{x}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = 10 - 5 x$ und $g (x) = e^{x}$ .

$(10 - 5 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [10 - 5 x]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [10 - 5 x]$

Schritt 3

Differenziere.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $10 - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [10] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Schritt 3.2

Da $10$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $10$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Schritt 3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Schritt 3.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} (- 5 \cdot 1)$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$(10 - 5 x) e^{x} + e^{x} \cdot - 5$

Schritt 3.6.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $e^{x}$ .

$(10 - 5 x) e^{x} - 5 \cdot e^{x}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$10 e^{x} - 5 x e^{x} - 5 e^{x}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $5 e^{x}$ von $10 e^{x}$ .

$- 5 x e^{x} + 5 e^{x}$

Schritt 4.3

Stelle die Terme um.

$- 5 e^{x} x + 5 e^{x}$

Schritt 4.4

Stelle die Faktoren in $- 5 e^{x} x + 5 e^{x}$ um.

$- 5 x e^{x} + 5 e^{x}$