Analysis Beispiele

$\frac{f (x) (\sin (14 x))}{\sin (7 x)}$

Schritt 1

Da $f (x)$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{f (x) \sin (14 x)}{\sin (7 x)}$ nach $x$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}]$ .

$f (x) \frac{d}{d x} [\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}]$

Schritt 2

Schreibe $\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}$ als ein Produkt um.

$f (x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)}]$

Schritt 3

Schreibe $\sin (14 x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (x) \frac{d}{d x} [\frac{\sin (14 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)}]$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Dividiere $\sin (14 x)$ durch $1$ .

$f (x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)}]$

Schritt 4.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (7 x)}$ nach $\csc (7 x)$ um.

$f (x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x) \csc (7 x)]$

Schritt 5

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = \sin (14 x)$ und $g (x) = \csc (7 x)$ .

$f (x) (\sin (14 x) \frac{d}{d x} [\csc (7 x)] + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \csc (x)$ und $g (x) = 7 x$ .

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Schritt 6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $7 x$ .

$f (x) (\sin (14 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [7 x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Schritt 6.2

Die Ableitung von $\csc (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [7 x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Schritt 6.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $7 x$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- \csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Schritt 7

Differenziere.

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Schritt 7.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7 x$ nach $x$ gleich $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- \csc (7 x) \cot (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x) \frac{d}{d x} [x]) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Schritt 7.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x) \cdot 1) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \frac{d}{d x} [\sin (14 x)])$

Schritt 8

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sin (x)$ und $g (x) = 14 x$ .

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Schritt 8.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $14 x$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [14 x]))$

Schritt 8.2

Die Ableitung von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\cos (u_{2})$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [14 x]))$

Schritt 8.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $14 x$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) (\cos (14 x) \frac{d}{d x} [14 x]))$

Schritt 9

Differenziere.

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Schritt 9.1

Da $14$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $14 x$ nach $x$ gleich $14 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \cos (14 x) (14 \frac{d}{d x} [x]))$

Schritt 9.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \cos (14 x) (14 \cdot 1))$

Schritt 9.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $14$ mit $1$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + \csc (7 x) \cos (14 x) \cdot 14)$

Schritt 9.3.2

Bringe $14$ auf die linke Seite von $\csc (7 x) \cos (14 x)$ .

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + 14 \cdot (\csc (7 x) \cos (14 x)))$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x) (\sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x))) + f (x) (14 \csc (7 x) \cos (14 x))$

Schritt 10.2

Bringe $14$ auf die linke Seite von $f (x)$ .

$f (x) \sin (14 x) (- 7 \csc (7 x) \cot (7 x)) + 14 f (x) \csc (7 x) \cos (14 x)$

Schritt 10.3

Stelle die Terme um.

$- 7 \cot (7 x) \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Schritt 10.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.4.1

Schreibe $\cot (7 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- 7 \frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)} \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Schritt 10.4.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ .

$\frac{- 7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Schritt 10.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(7) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \csc (7 x) \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Schritt 10.4.4

Schreibe $\csc (7 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Schritt 10.4.5

Multipliziere $- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)}$ .

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Schritt 10.4.5.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sin (7 x)}$ mit $\frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ .

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin (7 x) \sin (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Schritt 10.4.5.2

Potenziere $\sin (7 x)$ mit $1$ .

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{1} (7 x) \sin (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Schritt 10.4.5.3

Potenziere $\sin (7 x)$ mit $1$ .

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{1} (7 x) \sin^{1} (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Schritt 10.4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{7 \cos (7 x)}{{\sin (7 x)}^{1 + 1}} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Schritt 10.4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} \sin (14 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Schritt 10.4.6

Kombiniere $\sin (14 x)$ und $\frac{7 \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)}$ .

$- \frac{\sin (14 x) (7 \cos (7 x))}{\sin^{2} (7 x)} f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Schritt 10.4.7

Bringe $7$ auf die linke Seite von $\sin (14 x)$ .

$- \frac{7 \cdot \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Schritt 10.4.8

Kombiniere $f (x)$ und $\frac{7 \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)}$ .

$- \frac{f (x) (7 \sin (14 x) \cos (7 x))}{\sin^{2} (7 x)} + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Schritt 10.4.9

Bringe $7$ auf die linke Seite von $f (x)$ .

$- \frac{7 \cdot f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$

Schritt 10.4.10

Schreibe $\csc (7 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + 14 \cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)} f (x)$

Schritt 10.4.11

Multipliziere $14 \cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)}$ .

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Schritt 10.4.11.1

Kombiniere $\frac{1}{\sin (7 x)}$ und $14$ .

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + \frac{14}{\sin (7 x)} \cos (14 x) f (x)$

Schritt 10.4.11.2

Kombiniere $\frac{14}{\sin (7 x)}$ und $\cos (14 x)$ .

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + \frac{14 \cos (14 x)}{\sin (7 x)} f (x)$

Schritt 10.4.12

Kombiniere $\frac{14 \cos (14 x)}{\sin (7 x)}$ und $f (x)$ .

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin^{2} (7 x)} + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Schritt 10.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.5.1

Faktorisiere $\sin (7 x)$ aus $\sin^{2} (7 x)$ heraus.

$- \frac{7 f (x) \sin (14 x) \cos (7 x)}{\sin (7 x) \sin (7 x)} + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Schritt 10.5.2

Separiere Brüche.

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} \cdot \frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Schritt 10.5.3

Schreibe $\frac{\sin (14 x)}{\sin (7 x)}$ als ein Produkt um.

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Schritt 10.5.4

Schreibe $\sin (14 x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\frac{\sin (14 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)})) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Schritt 10.5.5

Vereinfache.

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Schritt 10.5.5.1

Dividiere $\sin (14 x)$ durch $1$ .

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Schritt 10.5.5.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (7 x)}$ nach $\csc (7 x)$ um.

$- (\frac{7 f (x) \cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Schritt 10.5.6

Separiere Brüche.

$- (\frac{7 f (x)}{1} \cdot \frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)} (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Schritt 10.5.7

Wandle von $\frac{\cos (7 x)}{\sin (7 x)}$ nach $\cot (7 x)$ um.

$- (\frac{7 f (x)}{1} \cot (7 x) (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Schritt 10.5.8

Dividiere $7 f (x)$ durch $1$ .

$- (7 f (x) \cot (7 x) (\sin (14 x) \csc (7 x))) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Schritt 10.5.9

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$- 7 (f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x)) + \frac{14 \cos (14 x) f (x)}{\sin (7 x)}$

Schritt 10.5.10

Separiere Brüche.

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} \cdot \frac{\cos (14 x)}{\sin (7 x)}$

Schritt 10.5.11

Schreibe $\frac{\cos (14 x)}{\sin (7 x)}$ als ein Produkt um.

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})$

Schritt 10.5.12

Schreibe $\cos (14 x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\frac{\cos (14 x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (7 x)})$

Schritt 10.5.13

Vereinfache.

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Schritt 10.5.13.1

Dividiere $\cos (14 x)$ durch $1$ .

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\cos (14 x) \frac{1}{\sin (7 x)})$

Schritt 10.5.13.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (7 x)}$ nach $\csc (7 x)$ um.

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + \frac{14 f (x)}{1} (\cos (14 x) \csc (7 x))$

Schritt 10.5.14

Dividiere $14 f (x)$ durch $1$ .

$- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + 14 f (x) \cos (14 x) \csc (7 x)$

Schritt 10.6

Stelle die Faktoren in $- 7 f (x) \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) + 14 f (x) \cos (14 x) \csc (7 x)$ um.

$- 7 \cot (7 x) \sin (14 x) \csc (7 x) f (x) + 14 \cos (14 x) \csc (7 x) f (x)$